МГТУ-2020
МГТУ-2020
Задача 1 хоть и не сложная,но "породистая"
1й способ. Графики движения + размещения некоторых грузов в узлах и нахождение центра тяжести
2й способ. Графики движения+ теорема Менелая
Но должно быть что-то еще проще и подходящее для произвольных направлений и порядков встреч (даны координаты 5ти точек встреч, найти ту же координату для 6й, формулой, с детерминантом каким-нибудь)
МГТУ-2020
Ian писал(а):Source of the post 2й способ. Графики движения+ теорема Менелая
Там даже проще, учитывая что на графике две медианы (т.к. 42 в центре 36 и 48, а 51 в центре 48 и 54).
Точка пересечения всех трёх медиан - искомая точка будет .
МГТУ-2020
Ian писал(а):Source of the post Но должно быть что-то еще проще и подходящее для произвольных направлений и порядков встреч
В общем случае это просто теорема Менелая (длины берутся со знаками).
Значит , откуда и получаем .
Ian писал(а):Source of the post найти ту же координату для 6й, формулой, с детерминантом каким-нибудь
Саму теорему Менелая наверно можно доказать через матрицы.
Например, если переписать её доказательство через гомотетии в матричной форме.
МГТУ-2020
Обозначим [math] координату каждой точки пересечения
[math]
Эта дробь симметрична относительно любой перенумерации точек. А в терминах определителя бы это записать
МГТУ-2020
Ian писал(а):Source of the post Эта дробь симметрична относительно любой перенумерации точек.
Разве?
Из 4 прямых есть 4 способа выбрать 3 для треугольника и одну секущую. Т.е. получится 4 разных формулы.
На рисунке треугольник из (1,2,3), а 4 - секущая.
Если сделать треугольник из (1,2,4), а 3 - секущая, то дробь уйдет, а дробь добавится (две другие дроби будут из тех же точек, но изменятся).
МГТУ-2020
zykov писал(а):Source of the post Т.е. получится 4 разных формулы.
Эта формула - это критерий того, что три точки лежащие на этих трёх прямых (на 1, 2 и 3) и удовлетворяющие данным соотношенииям по длине, что они лежат на одной прямой - на прямой 4.
Три другие формулы - это критерии для других троек точек, что они лежат на одной прямой.
Один из способов доказательства теоремы Менелая - через вектора. Там и возникнет детерминант матрицы "2 на 2", как критерий того, что три точки лежат на одной прямой (что два вектора коллинеарны).
МГТУ-2020
Я не со всем согласен. Если мы применим теорему Менелая для прямой 3, пересекающей треугольник из остальных прямых, то мы на те же 6 чисел t получим условие другое по форме, но эквивалентное предыдущему.Иначе говоря, тот факт, что все 4 прямые, участвующие в конструкции -это прямые, порождает одно уравнение связи этих 6-ти переменных, позволяющее по любым 5ти найти 6ю однозначно из некоторого линейного уравнения.А 4 разных формы теоремы Менелая -это 4 разных формы этого уравнения связи.
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
МГТУ-2020
zykov прав. Если у вас есть четыре прямые, каждую из которых пересекают три остальных, то на каждой прямой у вас отсекается по два отрезка, всего 8 штук. У вас вот на картинке отрезки t14-t34-t24 не обозначены и никак не используются. Если пытаться получить формулу, не зависящую от перестановок, в нее все 8 отрезков должны входить.
Я бы сказал более общо: четыре прямых характеризуются 8 параметрами, но с точностью до движений плоскости, несущей три параметра, остается 5 независимых. Наверное, инвариантное условие будет иметь вид трех уравнений с 8 параметрами.
Только вот в исходной задаче ведь даны вовсе не длины отрезков. Я решил вот так (думаю, понятно без словесных объяснений).
Я бы сказал более общо: четыре прямых характеризуются 8 параметрами, но с точностью до движений плоскости, несущей три параметра, остается 5 независимых. Наверное, инвариантное условие будет иметь вид трех уравнений с 8 параметрами.
Только вот в исходной задаче ведь даны вовсе не длины отрезков. Я решил вот так (думаю, понятно без словесных объяснений).
МГТУ-2020
Тут какое дело?
Собственно в теореме Менелая речь идет о длинах отрезков. Всего таких отрезков 8 (по 2 на каждой из 4 прямых). Из них 5 отрезков задают однозначно картину - 3 задают треугольник и ещё 2 задают секущую. Оставшиеся 3 отрезка можно найти из 4 формул Менелая. Видимо всё 4 формулы связаны алгебраически, так что например четвертую можно получить из других трёх.
В задаче про лифты немного другая ситуация, хотя и тесно связанная с теоремой Менелая. Тут мы рассматриваем не длины отрезков, и длины их проекций на ось (ось времени). Для проекций уже имеет место аддитивность, так что тут всего 6 параметров, как писал Ian. По 5 заданным можно найти 6ой. При этом, что любопытно, сами 4 формулы не связаны алгебраически (так что по первой можно получить 3 других). Но четыре разных равенства "многочлен равен нулю" задают одну и ту же поверхность.
Насчет детерминанта, то можно сделать так (не знаю, поможет ли):
, значит
, значит
Собственно в теореме Менелая речь идет о длинах отрезков. Всего таких отрезков 8 (по 2 на каждой из 4 прямых). Из них 5 отрезков задают однозначно картину - 3 задают треугольник и ещё 2 задают секущую. Оставшиеся 3 отрезка можно найти из 4 формул Менелая. Видимо всё 4 формулы связаны алгебраически, так что например четвертую можно получить из других трёх.
В задаче про лифты немного другая ситуация, хотя и тесно связанная с теоремой Менелая. Тут мы рассматриваем не длины отрезков, и длины их проекций на ось (ось времени). Для проекций уже имеет место аддитивность, так что тут всего 6 параметров, как писал Ian. По 5 заданным можно найти 6ой. При этом, что любопытно, сами 4 формулы не связаны алгебраически (так что по первой можно получить 3 других). Но четыре разных равенства "многочлен равен нулю" задают одну и ту же поверхность.
Насчет детерминанта, то можно сделать так (не знаю, поможет ли):
, значит
, значит
МГТУ-2020
zykov писал(а):Source of the post Насчет детерминанта, то можно сделать так (не знаю, поможет ли):
Вот альтернативный, чуть более симметричный вариант:
(тут каждый столбец - это сумма двух других столбцов из старой матрицы)
МГТУ-2020
То, что я и искал
-то что выражает теорему Менелая для секущей 3 треугольника (124)=AC'B'.
Все выражения из двух букв -это проекции соответствующего вектора на произвольную (но для всех одну)ось
zykov писал(а):
-то что выражает теорему Менелая для секущей 3 треугольника (124)=AC'B'.
Все выражения из двух букв -это проекции соответствующего вектора на произвольную (но для всех одну)ось
МГТУ-2020
Кстати ассоциируется с известной задачей из сети
По бесконечной стене равномерно и прямолинейно ползут 4 таракана, каждый по своей прямой(непараллельной другим) и со своей скоростью. Известно, что 1й встретился со 2,3 и 4, 2й встретился с 3 и 4. Доказать, что существует момент (в прошлом или в будущем) что 3й встретится с 4.
Решение.
По бесконечной стене равномерно и прямолинейно ползут 4 таракана, каждый по своей прямой(непараллельной другим) и со своей скоростью. Известно, что 1й встретился со 2,3 и 4, 2й встретился с 3 и 4. Доказать, что существует момент (в прошлом или в будущем) что 3й встретится с 4.
Решение.
МГТУ-2020
zykov писал(а):Source of the post Вот альтернативный, чуть более симметричный вариант:
Тут кстати простой смысл. Каждая строка соответствует одной стороне треугольника. А три значения в строке - это все три отрезка на данной стороне (один из них равен сумме двух других).
Т.к. в строке длины только вдоль одной линии, то не важно - сами длины это (как в теореме Менелая) или это их проекции. Т.е. такой же детерминант верен и для самой теоремы Менелая, а не только для проекций.
В данной форме это выражение не симметрично (выделен один треугольник). Есть ещё 3 такие же матрицы для других треугольников.
Похоже, что эти четыре детерминанта "3 на 3" - это миноры одной матрицы "4 на 4".
В симметричной форме это можно записать например так:
для любых параметров .
Или, если без параметров, то:
Это означает, что все четыре 3-вектора должны лежать в одной плоскости.
МГТУ-2020
Ian писал(а):Source of the post Прямая 4 имеет 2 точки на плоскости Р, значит, целиком лежит в плоскости Р
А вдруг эти две точки совпадают?
МГТУ-2020
Тогда неверно, в условие нужно добавить " никакие три траектории не пересекаются в одной точке"zykov писал(а):Ian писал(а):Source of the post Прямая 4 имеет 2 точки на плоскости Р, значит, целиком лежит в плоскости Р
А вдруг эти две точки совпадают?
МГТУ-2020
Кстати, наткнулся на любопытную ссылку про теорему Менелая (там на английском):
Menelaus Theorem: Proofs Ugly and Elegant - A. Einstein's View
Там же они упоминают и приведенную Ian задачу "4 travellers problem".
Вообще там много ссылок на эту тему.
Вот одна: Menelaus from 3D.
Там теорема доказывается построением в третье измерение, причем очень просто.
Menelaus Theorem: Proofs Ugly and Elegant - A. Einstein's View
Там же они упоминают и приведенную Ian задачу "4 travellers problem".
Вообще там много ссылок на эту тему.
Вот одна: Menelaus from 3D.
Там теорема доказывается построением в третье измерение, причем очень просто.
МГТУ-2020
Вот нашел любопытную статью про это.
A Unified Proof of Ceva and Menelaus Theorems Using Projective Geometry
Там в доказательстве теоремы 2.1 похожий детерминант возникает.
МГТУ-2020
Первая задачка решается вообще просто, без Менелая и графиков Перейдем в СО красного лифта, пусть - пройденный зеленым пусть от до (а также скорость в ед. изм метр/6мин). Тогда скорость желтого , т.к. зеленый оказался на расстоянии к . Пусть -скорость синего, тогда . Тогда время встречи зеленого с синим равно
МГТУ-2020
тогда Ваше решение соответствует картинке от Peregoudov, опубликованной выше, он именно красную прямую взял горизонтальной( а ось положений вертикальна). Скорости это тангенсы углов наклона прямых на картинке. Использование графиков для школьников, поступающих в такой вуз, только поощряется. Но действительно, Менелая жюри не ждало, числа подобраны чтоб просто решалась. Даже дано, какой лифт в каком направлении едет (а эти данные не обязательны)
МГТУ-2020
Теорема Менелая была в ответ на вопрос Ian про общий случай:
В этом частном случае числа подобраны удобные.
Тут проще всего использовать график и медианы треугольника, как я писал:
Как известно, точка пересечения медиан - это центр тяжести трёх вершин треугольника.
Ian писал(а):Source of the post Но должно быть что-то еще проще и подходящее для произвольных направлений и порядков встреч
В этом частном случае числа подобраны удобные.
Тут проще всего использовать график и медианы треугольника, как я писал:
zykov писал(а):Source of the post Там даже проще, учитывая что на графике две медианы (т.к. 42 в центре 36 и 48, а 51 в центре 48 и 54).
Точка пересечения всех трёх медиан - искомая точка будет .
Как известно, точка пересечения медиан - это центр тяжести трёх вершин треугольника.
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 0 гостей