Вращающийся туннель
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Вращающийся туннель
Утащил с другого форума.
Туннель некоторой формы, весь лежащий в одной плоскости, равномерно вращается вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости, с частотой . Концы туннеля находятся на равных расстояниях от оси в противоположных направлениях. В один из концов туннеля помещают тело и отпускают. Найти время движения тела по туннелю, если форма туннеля такова, что это время минимально. Бонусом --- найти форму туннеля. Как обычно, трения нет, никаких внешних сил тоже нет.
Туннель некоторой формы, весь лежащий в одной плоскости, равномерно вращается вокруг оси, перпендикулярной этой плоскости, с частотой . Концы туннеля находятся на равных расстояниях от оси в противоположных направлениях. В один из концов туннеля помещают тело и отпускают. Найти время движения тела по туннелю, если форма туннеля такова, что это время минимально. Бонусом --- найти форму туннеля. Как обычно, трения нет, никаких внешних сил тоже нет.
Вращающийся туннель
А у неё есть вообще "хорошее" решение?
Так то вариационное уравнение составить не сложно. Но аналитически не решается.
Перейдем во вращающуюся систему координат. В ней концы тунеля неподвижны, находятся на расстоянии от центра под углами и .
Добавляются центробежная сила и сила Кориолиса. Вторая никак не влияет, т.к. всегда направлена перпендекулярно вектору скорости, т.е. ровно в стенку тунеля и компенсируется силой реакции стенки тунеля.
Из закона сохранения энергии имеем .
Т.е. .
Если описать форму тунеля функцией - радиус в зависимотси от угла, то . В промежутке радиус растёт, затем падает. Функция однозначна, т.к. исходя из минимальности времени угол от времени только растёт - ему нет смысла идти назад а потом опять вперед.
Тогда .
Время прохождения тунеля равно .
Если заменить на , то получим .
Т.е. от результат никак не зависит. Зависимость от простая - время обратно пропорционально .
Остается только найти минимум при .
Вообще говоря оно решается. По крайней мере численно. Аналитического решения не вижу...
Так то вариационное уравнение составить не сложно. Но аналитически не решается.
Перейдем во вращающуюся систему координат. В ней концы тунеля неподвижны, находятся на расстоянии от центра под углами и .
Добавляются центробежная сила и сила Кориолиса. Вторая никак не влияет, т.к. всегда направлена перпендекулярно вектору скорости, т.е. ровно в стенку тунеля и компенсируется силой реакции стенки тунеля.
Из закона сохранения энергии имеем .
Т.е. .
Если описать форму тунеля функцией - радиус в зависимотси от угла, то . В промежутке радиус растёт, затем падает. Функция однозначна, т.к. исходя из минимальности времени угол от времени только растёт - ему нет смысла идти назад а потом опять вперед.
Тогда .
Время прохождения тунеля равно .
Если заменить на , то получим .
Т.е. от результат никак не зависит. Зависимость от простая - время обратно пропорционально .
Остается только найти минимум при .
Вообще говоря оно решается. По крайней мере численно. Аналитического решения не вижу...
Вращающийся туннель
Можно для ориентировки рассмотреть форму тунеля: "идёт вдоль радиуса до , потом по окружности, потом обратно вдоль радиуса".
На радиальных участках имеем линейное отталкивание - радиус от времени заисит как гиперболический косинус.
При движении по окружности скорость постоянна, время будет . Можно заметить, что это время уменьшается с ростом , но потом выходит на константу .
Время двух радиальных участков растёт с ростом - сначала быстро (как квадратный корень), потом медленно (как логарифм). Т.к. это обратная к гиперболичискому косинусу.
Численно получается, что оптимальное соотношение . При этом полное время .
Конечно оптимальная форма тунеля будет гладкой, без этих углов. Но в целом оно будет близко к этому случаю.
В начале скорость маленькая и выгодно всю её тратить на рост радиуса (что даёт хороший прирост в скорости). Ближе к середине выгода от роста радиуса незначительна, так что выгодно всю скорость тратить на прирост угла. В углах выгоднее их срезать, т.к. путь по прямой короче.
На радиальных участках имеем линейное отталкивание - радиус от времени заисит как гиперболический косинус.
При движении по окружности скорость постоянна, время будет . Можно заметить, что это время уменьшается с ростом , но потом выходит на константу .
Время двух радиальных участков растёт с ростом - сначала быстро (как квадратный корень), потом медленно (как логарифм). Т.к. это обратная к гиперболичискому косинусу.
Численно получается, что оптимальное соотношение . При этом полное время .
Конечно оптимальная форма тунеля будет гладкой, без этих углов. Но в целом оно будет близко к этому случаю.
В начале скорость маленькая и выгодно всю её тратить на рост радиуса (что даёт хороший прирост в скорости). Ближе к середине выгода от роста радиуса незначительна, так что выгодно всю скорость тратить на прирост угла. В углах выгоднее их срезать, т.к. путь по прямой короче.
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Вращающийся туннель
Конечно. Ответ на первый вопрос , а форму туннеля тоже можно найти аналитически. Это известная криваяzykov писал(а):Source of the post А у неё есть вообще "хорошее" решение?
Вращающийся туннель
Ну не знаю...
Вот это легко подставить в уравнение Эйлера-Лагранжа .
Но ничего удобоваримого не получается.
Вот это легко подставить в уравнение Эйлера-Лагранжа .
Но ничего удобоваримого не получается.
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Вращающийся туннель
Ну, прямое решение уравнений Лагранжа --- не единственный способ найти движение.
Вращающийся туннель
Так можно увидеть этот альтернативный способ?
Вращающийся туннель
zykov писал(а):Source of the post Вот это легко подставить в уравнение Эйлера-Лагранжа .
Если ничего не напутал, то получается страшненький дифур второго порядка .
Вольфрам даже находит для него решение. Правда в косвенной форме (как решение уравнения) и используя какие-то Appell Hypergeometric Functions.
Вращающийся туннель
peregoudov писал(а): Ответ на первый вопрос , а форму туннеля тоже можно найти аналитически. Это известная кривая
Тогда это эпициклоида
[math]
[math]
[math]-это отвлеченный монотонный параметр c [math]. Для нее как раз
[math]
равен этому минимуму
Получается , что автор задачи доказал минимальное свойство эпициклоиды, аналогичное тому, что для циклоиды, но ни в какой вики не указанное.
Вращающийся туннель
Вращающийся туннель
Ian писал(а):Source of the post -это отвлеченный монотонный параметр
Кстати, анализ показал, что этот параметр изменяется по времени с постоянной скоростью.
Т.е. это и есть время с коэффициентом.
Вращающийся туннель
Забавно, что если перейти обратно в невращающуюся систему координат (где сам тунель вращается), то траекторя движения тела - это просто окружность радиуса с центром на расстоянии .
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Вращающийся туннель
Закон сохранения энергииzykov писал(а):Source of the post Так можно увидеть этот альтернативный способ?
Кстати, не понял, откуда Ian взял свое решение...
Первая реакция --- не может быть. Ведь тогда время движения по туннелю должно быть кратно времени оборота, а там корень из трех пополам.zykov писал(а):Source of the post Забавно, что если перейти обратно в невращающуюся систему координат (где сам тунель вращается), то траекторя движения тела - это просто окружность радиуса с центром на расстоянии .
Вращающийся туннель
peregoudov писал(а):Source of the post Первая реакция --- не может быть. Ведь тогда время движения по туннелю должно быть кратно времени оборота
Да, верно.
Это я перепутал. Ведь растет не со скоростью , а со скоростью .
Нужно переходить не в неподвижную систему, а во вращающуюся со скоростью .
Вращающийся туннель
peregoudov писал(а):Source of the post zykov писал(а):
Source of the post Так можно увидеть этот альтернативный способ?
Закон сохранения энергии
Этого не достаточно.
Я его уже использовал.
zykov писал(а):Source of the post Из закона сохранения энергии имеем .
Т.е. .
Вращающийся туннель
Решения не было. Просто напрашивающийся пример. В пределе при R к бесконечности и фиксированном расстоянии между концами туннеля - в ответе циклоида, почему бы не проверить эпициклоиду. И раз на ней значение функционала времени совпало с указанным Вами -она оптимальна, хотя могло быть, что не только она.peregoudov писал(а):...
Кстати, не понял, откуда Ian взял свое решение...
А доказал zykov, что она удовлетворяет уравнению, значит, экстремаль. Отсюда совсем недалеко до строгого решения.
Эту вариационную задачу можно представлять как поиск геодезической во внешности круга с заданным метрическим тензором, так как коэффициент при dl зависит только от точки. Если бы внешность круга конформно отобразить на нечто функцией [math]-метрический тензор перейдет в единичный, и значит геодезические (куски эпициклоид) перейдут в отрезки прямых. Но боюсь, что такого конформного отображения нет. А то часто так геодезические находят
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Вращающийся туннель
Как же недостаточно! Ведь вы сами написали лагранжиан, не зависящий от "времени"zykov писал(а):Source of the post Этого не достаточно.
в качестве которого у вас выступает угол .zykov писал(а):Source of the post Вот это
Так непонятно даже, откуда вы значение интеграла взяли. Не честно же руками вычислили...Ian писал(а):Source of the post Решения не было. Просто напрашивающийся пример.
Вращающийся туннель
Ian писал(а):[math]
равен этому минимуму
[math]
под интегралом же константа
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость