Вот такая идея пришла в голову. Пусть у нас есть квадрат [0,1]x[0,1]. Сделаем в нем разрез (2/3,0)-(2/3,2/3), то есть на 2/3 от длины стороны и на 1/3 отступив от угла. Теперь у нас образовался "угол" (0,1)-(1,1)-(1,0)-(2/3,0)-(2/3,2/3)-(0,2/3)-cycle и меньший квадрат [0,2/3]x[0,2/3]. Продолжим с ним разрезание аналогично, только повернувшись на 90 градусов против часовой стрелки, то есть разрежем по (2/3,4/9)-(2/9,4/9). И так далее. На рисунке показан результат первых четырех разрезаний.
Поставим задачу для уравнения теплопроводности, считая стороны квадрата и разрезы адиабатическими, а источник возьмем дипольный (исток и сток рядом друг с другом). Тогда задача сводится к построению аналитической функции, мнимая часть которой обращается в нуль на границе, а сама функция имеет простой полюс в заданной точке.
Для областей с границей в виде ломаной есть интеграл Шварца---Кристоффеля, осуществляющий конформное отображение области на верхнюю полуплоскость. Решение задачи в полуплоскости строится тривиально методом отражений. Остается найти предел конформного отображения при числе разрезаний, стремящемся к бесконечности.
То есть объект, для которого нужно составить функциональное уравнение, аналогичное (?) функциональному уравнению для коэффициента прохождения в цитированной выше задаче, это конформное преобразование.