Рассмотрим истечение жидкости из отверстия в плоской стенке в двумерном случае (ну, можно считать, что из бесконечно длинной щели). Жидкость пусть будет идеальная и несжимаемая, тогда из уравнения непрерывности следует существование функции тока, такой что
а из уравнения Эйлера --- сохранение циркуляции, которое можно записать в виде потенциальности потока
Все вместе можно записать в виде условия, что существует комплексный потенциал , являющийся аналитической функцией комплексной координаты , а комплексная скорость является его производной
Кроме того, из уравнения Эйлера (в двумерном случае оно имеет две компоненты) следует закон Бернулли
здесь --- давление, деленное на плотность (можно, например, считать плотность равной единице).
Будем считать, что в начальный момент жидкость занимает полуплоскость , давление в ней равно . Дальше в стенке открывается отверстие , и жидкость начинает вытекать в нижнюю полуплоскость, где давление равно нулю. Требуется найти форму струи и распределение скорости в любой момент времени.
Ниже расписал известное решение для стационарного истечения, может быть, пригодится.
Рассмотрим сперва уже установившееся течение. Поскольку два куска стенки , и являющиеся их продолжением границы струи , являются линиями тока, а давление в верхней полуплоскости вдали от отверстия равно , получаем следующую граничную задачу: найти функцию тока, удовлетворяющую уравнению Лапласа в области и , , принимающую постоянные значения ( пока не знаем, потом надо будет связять с и ) при (), и , , и удовлетворяющую, кроме того, условию на границах струи. Граничные условия на струе являются переопределенными, но и форма струи заранее неизвестна.
На языке комплексного потенциала имеем граничные условия и .
Конечно, удобнее решать задачу с граничными условиями на известной границе. Этого можно достичь, если сделать следующий финт ушами. Будем искать не потенциал как функцию , а наоборот, как функцию . Тогда имеем задачу на полосе , с граничными условиями на стенках , и граничными условиями на границах струи , (у Ландау в этом месте почему-то другие знаки у , но ведь жидкость течет от малых к большим).
В принципе, уже в таком виде задача может быть сведена к интегральному уравнению, однако возможны еще три финта ушами.
Первый состоит в переходе от к комплексной скорости , при этом из граничного условия изгоняется производная неизвестной функции. Второй финт состоит в переходе к , тогда граничное условие становится из квадратичного линейным. Получаем задачу с граничными условиями на стенках , и граничными условиями на границах струи , . И третий финт состоит в переходе от полосы к полуплоскости с помощью конформного преобразования . Тогда получаем граничные условия при , и при , .
Последняя задача представляет собой задачу о поле проводящей полосы, которая имеет известное решение
Последняя формула является дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными относительно
Постоянная опеределяется из условия , и равна
(проще всего разделить вещественную и мнимую части при помощи равенства ). Отсюда же получаем сжатие струи в соотношении .
В принципе, интеграл вычисляется до конца заменой переменной