Вопрос такой:
Есть две различимые частицы, гамильтонианы и которых идентичны. Пусть их спектры невырождены. Если мы рассмотрим сумму этих гамильтонианов (действующих в пространствах состояний каждый своей частицы), то спектр этой суммы окажется дважды вырожденным. В принципе понятно, откуда берётся вырождение: ведь для разных одночастичных состояний и существует пара двухчастичных и , энергии которых в силу идентичности гамильтонианов равны.
Однако я никак не нахожу объяснения для вырождения с точки зрения теории групп: единственная нетривиальная операция симметрии, относительно которой инвариантен , --- обмен частиц. Это даёт циклическую группу второго порядка, которая абелева, и неприводимые представления которой действительны. Но тогда откуда вырождение? Ведь для вырождения (которое здесь явно не "случайное"), как я понимаю, необходимо, чтобы группа симметрии была неабелевой (тогда будут сущевовать многомерные неприводимые представления) или чтобы у группы существовали комплексно-сопряжённые неприводимые представления (тогда будут существовать вырожденные состояния, нечётные относительно инверсии времени).
Интересно, а смогут ли наши участники угадать, где спряталась некоммутативная группа?