Это чудное квантовое вырождение...

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Это чудное квантовое вырождение...

Сообщение peregoudov » 17 апр 2018, 19:44

На dxdy был задан вопрос, правильного ответа на который не прозвучало, зато было написано изрядно глупостей.

Вопрос такой:
Есть две различимые частицы, гамильтонианы $H_a$ и $H_b$ которых идентичны. Пусть их спектры невырождены. Если мы рассмотрим сумму этих гамильтонианов (действующих в пространствах состояний каждый своей частицы), то спектр этой суммы $H=H_a+H_b$ окажется дважды вырожденным. В принципе понятно, откуда берётся вырождение: ведь для разных одночастичных состояний $|n\rangle$ и $|m\rangle$ существует пара двухчастичных $|n\rangle\otimes|m\rangle$ и $|m\rangle\otimes|n\rangle$, энергии которых в силу идентичности гамильтонианов равны.

Однако я никак не нахожу объяснения для вырождения с точки зрения теории групп: единственная нетривиальная операция симметрии, относительно которой инвариантен $H$, --- обмен частиц. Это даёт циклическую группу второго порядка, которая абелева, и неприводимые представления которой действительны. Но тогда откуда вырождение? Ведь для вырождения (которое здесь явно не "случайное"), как я понимаю, необходимо, чтобы группа симметрии была неабелевой (тогда будут сущевовать многомерные неприводимые представления) или чтобы у группы существовали комплексно-сопряжённые неприводимые представления (тогда будут существовать вырожденные состояния, нечётные относительно инверсии времени).

Интересно, а смогут ли наши участники угадать, где спряталась некоммутативная группа? ;)

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Это чудное квантовое вырождение...

Сообщение peregoudov » 18 май 2018, 12:37

Что-то тишина мертвая... Ладно, попробуем кинуть еще кость для разогрева.

Выше я писал, что в теме на dxdy было сказано немало глупостей. Вот одна из них
У Вас коллекция неверных утверждений. Вырождения происходят по многим причинам, в т.ч. абсолютно не связанным с симметриями.

Пример 1. Сумма двух одинаковых гармонических осцилляторов со спектрами 1,3,5,7,…. Тогда с.з с указанием кратностей:
2 (1+1)
4 (1+3,3+1)
6 (1+5, 3+3, 5+1)
...
в общем, с.з. $2n$ имеет кратность $n$
Откуда на самом деле берется вырождение в этом конкретном случае? Неужели оно "случайное"? Или тут все же есть некоммутативная группа?

Nicelir
Сообщений: 2
Зарегистрирован: 26 июл 2018, 17:08

Это чудное квантовое вырождение...

Сообщение Nicelir » 26 июл 2018, 17:37

Во первых, было бы неплохо дать ссылку на dxdy, чтобы люди не повторялись.
Во вторых, есть проблемка в различимости частиц. Если они различимы и их гамильтонианы одинаковы, то есть какой-то эрмитовый квантовый оператор(т.к. Наблюдаемая) Х, собственные значения которого разные для разных частиц.
Допустим одна частица синяя, а другая красная. Тогда эти частицы являются представлениями группы симметрии относительно замены цвета причем с вырожденными уровнями энергии.
Тогда твоя операции симметрии для двухчастичных состояный будут произведением операций доя одночастичных.

Ну а в третьих, с чаго ты взял, что для вырождения необходима неабелева группа?

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Это чудное квантовое вырождение...

Сообщение peregoudov » 27 июл 2018, 17:55

Даже не знаю, что ответить... Лучше еще одну подсказку дам!

Не будем гнаться за общностью, рассмотрим конкретный случай. Пусть $H_{a,b}$ --- гамильтониан частицы в одномерном ящике с бесконечно высокими стенками. Тогда $H=H_a+H_b$ --- ...?

Nicelir
Сообщений: 2
Зарегистрирован: 26 июл 2018, 17:08

Это чудное квантовое вырождение...

Сообщение Nicelir » 28 июл 2018, 15:19

Все проще. Вот тут дан исчерпывающий ответ:
https://en.m.wikipedia.org/wiki/Degener ... rgy_levels

Просто-напросто, благодаря тому, что преобразование симметрии коммутирует с гамильтонианом, оба симметричных состояния имеют одно и тоже собственное значение. Никакая неабелева группа тут не нужна.

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Это чудное квантовое вырождение...

Сообщение peregoudov » 30 июл 2018, 17:19

Увы, там написано прямо противоположное вашему утверждению
The possible degeneracies of the Hamiltonian with a particular symmetry group are given by the dimensionalities of the irreducible representations of the group.
На случай, если у вас проблемы с английским (ну, раз вы "подкрепляете" свои высказывания ссылками, которые им полностью противоречат), я переведу
Возможные кратности вырождения энергетических уровней гамильтониана с заданной группой симметрии равны размерностям неприводимых представлений этой группы.
У абелевой же группы все неприводимые представления одномерны.


Вернуться в «Физика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 4 гостей