Систематическая погрешность при подключении амперметра

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 08 ноя 2017, 14:32

Вот какой вопрос возник у моих нефтяников. Пусть есть схема постоянного тока и мы хотим измерить ток в одной из ветвей. Интуитивно ясно, что, при подключении амперметра ток в ветви должен уменьшиться, поскольку сопротивление ветви возрастает. А можно ли это доказать строго?

У меня пока только такая идея, что всю схему, кроме исследуемой ветви, можно представить как двухполюсник и описать линейной вольт-амперной характеристикой. И все хорошо, если только еще доказать, что ток короткого замыкания и напряжение на разомкнутом двухполюснике должны быть одного знака.

И еще, конечно, интересует возможность обобщений: на нелинейные цепи и на измерения напряжения. Пока неудовлетворенность моя связана с тем, что мне никак не удается использовать какие-то условия устойчивости для электрических цепей (вариационный принцип?), а это, безусловно, нужно для получения результата.

zykov · Сообщение **zykov** » 08 ноя 2017, 18:06

Ну наверно, если есть задача добится снижения влияния амперметра ниже значимого, то можно какую-нибудь активную схему соорудить. Когда по известному току измеренному амперметром и по его известным характеристикам эта активная схема инжектирует компенсационный ток.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 09 ноя 2017, 13:32

Не-не-не, тут задача скорее академическая. Если амперметр не нравится, можно просто спросить, как изменится ток в ветви при изменении ее сопротивления.

zykov · Сообщение **zykov** » 09 ноя 2017, 19:57

Взять исходную цепь, разорвать в точке, куда включается амперметр. Получим двухполюсник. И посмотреть вольтамперную характеристику (не обязательно всю, достаточно в районе

V=0) этого двухполюсника.

Без амперметра у нас

V=0 и какой-то ток.
С амперметром - нужно найти точку пересечение вольтамперных характеристик нашего двухполюсника и амперметра.

: ammeter_2017.png (4.73 KiB) 37898 просмотра

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 10 ноя 2017, 13:07

Э-э-э, вроде я все это написал еще в стартовом сообщении.

Окей, давайте по второму кругу. Почему у вас зеленая кривая заваливается налево, а не направо? Если двухполюсник линейный, то его вольт-амперную характеристику можно записать в виде $I/I_0+U/U_\infty=1$ , где $I_0$

--- ток короткого замыкания, а $U_\infty$ --- напряжение на разомкнутом двухполюснике. Завал налево, как у вас, означает, что они одного знака. И в стартовом сообщении я задаю вопрос: можно ли это доказать строго?

Для нелинейного двухполюсника аналогично: можно ли доказать $dU/dI<0$

? Все это очень на условие устойчивости смахивает...

zykov · Сообщение **zykov** » 10 ноя 2017, 13:27

peregoudov писал(а):Source of the post Почему у вас зеленая кривая заваливается налево, а не направо?

Из-за обратного включения. При прямом включении идёт направо.
Но это обычно (как например у источника ЭДС с внутренним сопротивлением).
Так конечно может идти в другую сторону. Просто это будет весьма необычный источник ЭДС, который выдаёт всё большее напряжене с ростом тока. Ничто не мешает соорудить такую активную схемку (например на операционном усилителе с положительной обратной связью). Там только могут быть проблемы со стабильностью (в зависимости от включения), т.к. в пределе получается что при бесконечно большом токе он выдаёт бесконечно большое напряжение. Реальный операционный усилитель конечно не выдаст ни бесконечно большого напряжения, ни бесконечно большого тока. Он просто в насыщение уйдёт.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 13 ноя 2017, 17:50

Во-от! Вот и у меня такое чувство, что для доказательства завала характеристики влево нужно привлекать какое-то условие устойчивости. Остается сообразить, как это культурно сделать. И да, черные коробочки со странными ВАХ в качестве элементов схемы --- дас ист кайне гут, потому как сразу встает вопрос, не противоречит ли такая коробочка законам физики.

zykov · Сообщение **zykov** » 13 ноя 2017, 18:03

peregoudov писал(а):Source of the post доказательства завала характеристики влево нужно привлекать какое-то условие устойчивости

Как можно доказать то, что неверно?

Отрицательное дифференциальное сопротивление - вполне существующее явление, ничем не запрещенное. Просто встречается не часто.
Вот на вики статья есть: Отрицательное дифференциальное сопротивление. Там подробнее. Английская версия, если что, гораздо более подробна (там есть параграф "Stability conditions").

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 14 ноя 2017, 12:34

Ну то есть вы можете привести пример схемы, при измерении тока в которой мы получим не заниженное, а завышенное значение?

Я не против отрицательного дифференциального сопротивления так такового, я просто сомневаюсь, что в системах с положительной обратной связью возможны стационарные решения. Я пока еще не вчитывался подробно, но в параграфе, что вы ссылаетесь, написано

For nonreactive circuits <...> a sufficient condition for stability is that the total resistance is positive

Разве это не есть требование положительности сопротивления цепи (сопротивление амперметра мало)?

zykov · Сообщение **zykov** » 14 ноя 2017, 13:47

А Вы уверены, что у Вас "nonreactive circuit" (та, к которой амперметр подключаете)?
Пока Вы никаких ограничений на устройство не накладывали.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 15 ноя 2017, 16:54

Можем и наложить, а можем просто сказать, что внешние параметры меняются много медленнее, чем происходят переходные процессы в черном ящике --- тогда он будет практически нереактивный. Но дело даже не в ящике. Я могу во внешнюю цепь подключить реактивный элемент и исследовать на устойчивость. Там, в вики, и общий случай написан.

zykov · Сообщение **zykov** » 15 ноя 2017, 18:14

Кажется тут какое-то недопонимание.
"nonreactive circuit" - это цепи из сопротивлений (линейных и нелинейных), включая обычные источники ЭДС с внутренним сопротивлением.
"reactive circuit" - включают в дополнение к сопротивлениям ещё ёмкости и индуктивности. Т.е. по сути все реальные цепи.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 16 ноя 2017, 10:59

Почему недопонимание? Для нереактивных двухполюсников существует вольт-амперная характеристика в смысле обычной функции $U(I)$

, связывающей напряжение и ток в один и тот же момент времени. А для реактивных это, вообще говоря, интегральный оператор (ну, там, со всякими ограничениями типа причинности). Для линейных реактивных цепей этот оператор линейный и можно описать его комплексным сопротивлением, зависящим от частоты (просто фурье-преобразование ядра). А для нелинейных... ну, я даже не знаю. Но, если внешние условия менять медленно (допустим, постоянная времени внешней реактивной цепи много больше наибольшего из времен релаксации двухполюсника), то приближенно можно считать двухполюсник нереактивным.

Но вообще с нелинейностями можно не заморачиваться, ограничившись окрестностью тока короткого замыкания. Для исследования устойчивости этого достаточно.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 28 ноя 2017, 11:54

Ок, давайте сузим задачу. Пусть цепь состоит из линейных элементов: резисторов, источников ЭДС и источников тока (можно даже только источников ЭДС). Можно ли тогда в общем случае доказать, что ток в ветви при возрастании ее сопротивления падает?

zykov · Сообщение **zykov** » 30 ноя 2017, 06:01

Можно.
Так же, как в программе SPICE, построить матрицу проводимости (nodal admittance matrix). И показать используя эту матрицу, что дифференциальное сопротивление двухполюсника положительное, если в каждой ветви дифференциальное сопротивление было положительным.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 30 ноя 2017, 13:18

Ну, учебник по ТОЭ со всеми этими графами и матрицами у меня есть, только я пока не вижу, как это поможет решить задачу...

zykov · Сообщение **zykov** » 30 ноя 2017, 14:44

Взять эту матрицу (свойства её известны: симметрична, на диагонали положительные, вне диагонали отрицательные, сумма по столбцу/строке не меньше нуля), выразить через неё искомое сопротивление/проводимость двухполюсника, показать что эта величина неотрицательная.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 30 ноя 2017, 17:12

Лихо у вас все на словах получается! А на деле вы не назвали именно того свойства матрицы, которое нужно.

Вот что у меня пока выходит. Я буду писать не те уравнения, что предлагаете вы, а уравнения для контурных токов. В учебнике написано, что они имеют вид

$$ BR^eB^TI^c=B(E^e-R^eJ^e), $$

где

--- матрица контуров (состоящая из нулей, единиц и минус единиц и показывающая, входит ли данная ветвь в контур и с каким знаком), $R^e$

--- квадратная диагональная матрица сопротивлений ветвей, $I^c$

--- столбец контурных токов, $E^e$

,

--- столбцы ЭДС и источников тока в ветвях.

Теперь я говорю: выберем контуры так, чтобы интересующая нас ветвь (без ограничения общности --- первая) входила в один-единственный контур, без ограничения общности --- первый по счету. Тогда, во-первых, контурный ток в этом контуре просто равен току в ветви, а, во-вторых, в матрицу контурных сопротивлений $R^c=BR^eB^T$

сопротивление ветви входит лишь однажды, в элемент $(R^c)_{11}$ . На минуту ограничимся случаем, когда источников тока нет, $J^e=0$

, тогда и в правой части нет сопротивления ветви. Остается понять, как она входит в решение уравнений.

Воспользуемся выражением обратной матрицы через алгебраические дополнения

$(R^c)^{-1}_{ik}=\frac{A_{ki}}{\det R^c}=\frac{A_{ki}}{R^c_{11}A_{11}+\sum_{j\neq1}R^c_{j1}A_{j1}}.$

Алгебраические дополнения $A_{j1}$ от $R^c_{11}$ не зависят, поэтому в формуле

$I^c_1=((R^c)^{-1}BE^e)_1=\frac{\sum_k A_{k1}(BE^e)_k}{R^c_{11}A_{11}+\sum_{j\neq1}R^c_{j1}A_{j1}},$

выражающей ток в ветви, вся зависимость от сопротивления ветви выписана явно и входит только через $R^c_{11}$ . Дифференцируя по сопротивлению ветви, получаем

$(I^c_1)'=-\frac{A_{11}\sum_k A_{k1}(BE^e)_k}{(R^c_{11}A_{11}+\sum_{j\neq1}R^c_{j1}A_{j1})^2}=-I^c_1\frac{A_{11}}{\det R^c}.$

И вот теперь для получения желаемого результата --- что производная тока имеет обратный знак по отношению к самому току --- нам нужна положительная определенность $R^c$

: тогда и определитель и угловой минор $A_{11}$ будут положительны. И положительная определенность есть, потому что квадратичная форма $(I^c)^TR^cI^c$

равна просто полной джоулевой мощности по всем ветвям, $\sum_k (I^e_k)^2R^e_k$ .

Если в интересующей нас ветви нет источника тока, то доказательство тоже проходит, потому что в конструкцию $BR^eJ^e$

сопротивление ветви не войдет.

А вот если в интересующую нас ветвь входит источник тока $J^e_1$

, то, во-первых, ток через сопротивление уже не есть ток в ветви, а, во-вторых, в числителе формулы для $I^c_1$

также появляется зависимость от сопротивления ветви. Опуская технические подробности, скажу только, что сумма $I^c_1+J^e_1$

выражается соотношением, аналогичным тому, которое выписано выше для $I^c_1$

. Поэтому доказательство
распространяется и на этот случай тоже.

Вот как все запутано. И остается неудовлетворенность, потому что за всеми этими матричными манипуляциями не видно леса...

zykov · Сообщение **zykov** » 30 ноя 2017, 18:05

Можно и через токи работат.
Но насколько помню, в SPICE (и других) используют вектор напряжений и матрицу проводимостей, т.к. с ними работать удобней. Источники тока - вообще не проблема. Их в матрице нет, они все в правую часть уходят.

Y*v=I
Тут мы не рассматриваем всю цепь, а разрываем её там, где включается амперметр и получаем двухполюсник. Потом между этими полюсами подключаем источник тока и анализируем полученную цепь. Для нелинейной нужен источник с током, который был в инетерсующем режиме, и ег оварьируем. Для линейной - не важно какой ток. Можно взять 0 и 1.
Разность напряжений на двухполюснике найдется как

v_1=Y^{-1}(I+0) и

v_2=Y^{-1}(I+1) для двух токов (один из элементов в векторах

v соответстующий одному концу двухполюсника, считая второй конец землей).
Изменение этой разности

v_2-v_1=Y^{-1}1.
Из свойств матрицы получим, что все элементы

v получили положительное приращение, включая и тот, что на конце двухполюсника. Значит сопротивление положительное.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 01 дек 2017, 16:29

Ну, не надо меня убеждать в том, что, если задача решается одним способом, то она решается и другим. Действительно, через узловые потенциалы получается попроще. Но положительная определенность Y все равно нужна (впрочем, она есть, потому что $v^TYv$

--- снова та же самая джоулева мощность). Что все приращения потенциалов положительны, сомнительно. Но тот, что нам нужен, действительно растет.

Думаю, еще немного, и придумается совсем простое и красивое доказательство.

Портал Естественных Наук, версия 1.1