http://www.sciteclibrary.ru/cgi-bin/yab ... 1203964865
а я приведу нарезку самого, на мой взгляд, важного
ЗАДАЧА от Инкви
электрон, как положено налетает на потенциальный барьер. Барьер строится таким образом: на единичном отрезке высотой единица вырезается из средины треть, из оставшихся кусков врезается опять, по трети и т.д., при этом суммарная полщадь остается постоянной.
найти коэффициент пропускания барьера...
Моя идея, думаю, понятна. Фрактальный потенциал самоподобен: его отличная от нуля треть --- снова тот же потенциал, сжатый в три раза (a->a/3) и с амплитудой, в полтора раза большей (U->3U/2). Тогда найденное соотношение для "двойного финитного потенциала" приводит к функциональному уравнению
где z=pa, а второй параметр, от которого зависит коэффициент пропускания, можно выбрать не зависящим от масштабирования . Теперь нужно еще какое-то дополнительное условие к функциональному уравнению (через него и войдет параметр U) и решить все это
Вот забавное соотношение нашел (уже давно)
Все никак не могу сообразить, как его можно проитерировать, и как это использовать для решения функционального уравнения.
Формулы, годящиеся для малых , позволяют численно находить амплитуды и при больших - переходя несколько раз с помощью соотношений подобия к .
На картинке показан получаемый этим способом коэффициент прохождения при нескольких величинах площади под фрактальным потенциалом.
Добавлено.
1. Все показанные пики - не численный артефакт, а реальность. Точность контролировалась путем сравнения ответов, найденных с разным размером начальной зоны по , в которой применялись степенные разложения до включительно, и соответственно с разным количеством итераций по раздуванию и (конкретно размер начальной зоны брался либо ). При всех показанных точность в была не хуже (4 верных знака после запятой).
2. Собственно, сама задача инквизитора это случай единичной площади и единичной длины (). Ей соответствует первая картинка во втором ряду, на которой и показано численное решение задачи.
Если рассмотреть функциональное уравнение для матрицы сшивки
при значениях "z", кратных , то оно вырождается в и немедленно итерируется . Записывая матрицу
раскладывая ее по сигма-матрицам, представляя в экспоненциальном виде, возводя в степень и снова возвращаясь к компонентной форме, получим
где , .
Рассматривая переход как замену , при неизменном "a" (при этом не меняется параметр "u" малое), видим, что безразмерное отношение . Вроде бы в пределе должны получить полную прозрачность потенциала. Вроде бы это и численным счетом подтверждается. Тогда матрица должна диагонализоваться, что возможно только при b=0. И мы получаем точный результат , а .
Это наводящие соображения. Я просто пытаюсь понять вот эти вот периодические пики с .
На мой взгляд, эта задача имеет много общего с задачей Ian'а про функцию Кантора. Предлагаю попробовать добить.