кватернионы

folk · Сообщение **folk** » 08 фев 2017, 09:30

Привет честному народу. Пытаюсь вкурить связь групп вращений и матриц Паули. Честно говоря пока что не разобрался.
Вроде как вращения в R^3 можно представить как умножение кватернионов: поворот вектора u можно вычислить как u' = t u t ^-1
где t = cos( q/2 ) + sin ( q/2 ) v, где v опять же ось вращения (приведенная к единичной длине) в координатном виде в осях (i,j,k).
Вроде как матрицы Паули можно рассматривать как представление кватернионов - они умножаются как i,j,k.
А как это все рассматривать для случая R^4 пространства времени?

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 08 фев 2017, 18:33

Параметр q становится комплексным, а группа вращений превращается... превращается группа вращений... вращений группа превращается... в группу Лоренца!

Пусть ${\bf a}$ --- 3-вектор, $\bf n$ --- единичный 3-вектор (направление), $\phi$ --- угол, $\boldsymbol\sigma$ --- матрицы Паули. Тогда поворот ${\bf a}\to{\bf a}'$ выражается формулой

$({\bf a}'\boldsymbol\sigma)=e^{-i({\bf n}\boldsymbol\sigma)\phi/2}({\bf a}\boldsymbol\sigma)e^{i({\bf n}\boldsymbol\sigma)\phi/2}.$

Вообще, любые три эрмитовы матрицы $J_{1,2,3}$ любого размера, удовлетворяющие коммутационным соотношениям группы вращений

$$ [J_1, J_2]=iJ_3 $$

(и циклические перестановки индексов), позволяют написать представление группы вращений в соответствующем пространстве в виде $e^{i{\bf Jn}\phi}$ .

Портал Естественных Наук, версия 1.1