Парадокс конденсатора

[peregoudov]

Ну что же, пришла пора подкинуть вам очередной парадокс СТО.

Пусть у нас есть плоский конденсатор, из тех, что изучали в школе, и пусть он заряжен, так что внутри у него электрическое поле [math]E. Само собой, что такому полю соответствует плотность энергии [math]E^2\!/8\pi, а весь конденсатор имеет энергию, равную произведению указанной плотности на объем конденсатора.

Теперь мы переносим конденсатор из одной комнаты в другую. Естественно, что и энергия этого конденсатора должна перекочевать. Поток энергии в электромагнитном поле, как известно, определяется вектором Пойнтинга

[math]{\bf S}=\frac c{4\pi}{\bf E}\times{\bf B}.

И вот тут выходит казус. Для простоты будем считать, что мы переносим конденсатор равномерно со скоростью [math]v. Если мы будем нести его параллельно обкладкам (левая часть рисунка ниже), то компонента [math]E вдоль оси [math]y приведет к появлению компоненты [math]B вдоль оси [math]z, и действительно получится вектор Пойнтинга вдоль оси [math]x --- вдоль оси движения.

Однако, если мы будем нести конденсатор перпендикулярно обкладкам (правая часть рисунка ниже), то компонента [math]E вдоль оси [math]x не вызовет появления магнитного поля, и вектор Пойнтинга будет равен нулю. Что же выходит, конденсатор перенесли --- а его энергия осталась в другой комнате?



В этой задачке есть и другие несуразности, но для начала разберитесь с этой.

[zykov]

Когда говорят про вектор Пойнтинга (например ЛЛ2), то рассматривают систему из заряженных частиц и ЭМ поля. И показывают, что энергия-импульс в этой совместной системе сохраняется, если адекватно учесть энергию-импульс поля. При этом предполагается, что других сил в системе нет. Заряды движутся под действием поля, поле формируется зарядами.

В данной конфигурации конденсатор просто схлопнулся бы при отсутствии других сил.
Для реального конденсатора есть дургая сила (например упругая), которая не даёт схлопнутся и в точности уравновешивает ЭМ силу.
Для корректного применения сакона сохранения нужно было бы учесть поток энергии связанный с этой силой тоже. Тогда в сумме выйдет ноль как в первом случае, так и во втором.

Вобщем та же ситуация, как и с сужением на проводе в форме петли (про которую Вы ранее писали). Проблема в упрощённом, наивном рассмотрении реальной макроскопической системы (такой как твёрдое тело).

[peregoudov]

Тут некоторые товарищи впали в эйфорию по поводу того, что разобрались с правой половиной рисунка. Разобрались-то разобрались, да не совсем, а лишь в самом грубом, нерелятивистском приближении. А денежки любят счет точный.

Пусть поле в конденсаторе в системе покоя равно [math]E_0, а объем конденсатора равен [math]V. Тогда энергия конденсатора равна [math]VE_0^2/8\pi (вы уж извините, буду в СГС, в СИ сами перепишете).

Согласно общим принципам СТО, в лабораторной системе отсчета, где конденсатор движется со скоростью [math]v, его энергия равна [math]\dfrac{VE_0^2}{8\pi\sqrt{1-v^2\!/c^2}}.

Теперь сосчитаем, сколько же энергии входит в объем, когда конденсатор пересекает его границу. Напомним, что речь идет о правой половине картинки, потому границу возьмем в виде плоскости, параллельной обкладкам. Вектор Пойнтинга равен нулю, поэтому вся энергия обязана работе силы, которая тащит первую обкладку, за время, пока вторая обкладка еще не вошла в объем. Электрическое поле в лабораторной системе такое же, как в системе покоя, заряд и площадь обкладок [math]S тоже, поэтому сила равна



умножая ее на расстояние между обкладками, которое по сравнению с системой покоя сократилось, получаем работу



То есть при аккуратном подсчете все равно выходит недостача на



Причем она выходит и в энергии конденсатора тоже: если помножить [math]E_0^2/8\pi на сжавшийся объем, получается не то, что надо...

Но еще более интересные сюрпризы преподносит вроде бы беспроблемная левая часть картинки. В тех же обозначениях, что выше, имеем: электрическое поле в лабораторной системе [math]\dfrac{E_0}{\sqrt{1-v^2\!/c^2}}, магнитное поле в лабораторной системе [math]\dfrac{vE_0}{c\sqrt{1-v^2\!/c^2}}, вектор Пойнтинга [math]\dfrac{vE_0^2}{4\pi(1-v^2\!/c^2)}. Умножая вектор Пойнтинга на площадь зазора между пластинами (она та же, что в системе покоя) и на время прохождения конденсатора через границу [math]\dfrac Lv\sqrt{1-v^2\!/c^2} (размер пластин в направлении движения испытывает сокращение), получим



--- вдвое больше (!), чем нужно.

Но это еще не все! Если мы поинтересуемся энергией движущегося конденсатора, то должны сперва вычислить плотность



а потом умножить на сжавшийся объем



--- теперь выходит превышение на те же



В общем, тут разбираться и разбираться, товарищи, отставить головокружение от успехов!