Страница 1 из 1
Задача "Заяц и лиса"
Добавлено: 03 июн 2021, 23:18
zykov
Вспомнилась такая старая забавная задача про зайца и лису.
Может конечно она знакома. Но если незнакома, то можно поломать голову.
В нулевой момент заяц выбегает из точки
и бежит с постоянной скоростью
вдоль оси
.
А лиса выбегает из точки
и бежит с постоянной по абсолютной величине скорость
строго по направлению к зайцу (в текущий момент).
Вопросы:
- Если , то через большой промежуток времени лиса будет бежать за зайцем почти по оси . Какое будет (в пределе) расстояние между лисой и зайцем?
- Если , то лиса догонит зайца за конечное время. За какое время лиса догонит зайца?
Задача "Заяц и лиса"
Добавлено: 04 июн 2021, 11:09
peregoudov
Знакомая, знакомая. Но задачка хорошая, очень многоплановая, так что пообсуждать можно.
Задача "Заяц и лиса"
Добавлено: 04 июн 2021, 20:10
zykov
Я то решение знаю. Вот может Ian хочет попробовать?
(Тут физики по сути то нет, одна математика.)
Задача "Заяц и лиса"
Добавлено: 08 июн 2021, 10:50
Ian
"Квант", начало 70-х. Там предпринята попытка объяснить решение для равных скоростей школьникам, никакого интеграла не видевшим. В системе отсчета "заяц" вектор скорости лисы складывается из двух равных -назад вдоль оси движения зайца и направленного к началу координат. Тогда есть идея, что расстояния до прямой x=-L и начала координат будут убывать с равной скоростью, а в начале они были равные, значит движение по параболе с фокусом в начале координат и директрисой x=-L, предельное расстояние L/2 при приближении к вершине параболы
Попробуем обобщить. В системе отсчета зайца уравнение движения
[math]\frac{d\vec{r}}{dt}=v\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}-u\vec{e_1}
Как бы решить без координат, ни полярных ни прямоугольных
Задача "Заяц и лиса"
Добавлено: 09 июн 2021, 09:58
zykov
Там решение довольно простое.
Обозначим точку зайца -
, точку лисы -
, точку проекции
на ось
-
.
Угол при
в этом прямоугольном треугольнике обозначим -
.
И рассмотрим скорости изменения длин
и
.
растёт со скоростью
(проекция скорости зайца на это направление) и убывает со скоростью
(скорость лисы направлена вдоль). Итого
.
растёт со скоростью
(скорость зайца направлена вдоль) и убывает со скоростью
(проекция скорости лисы на это направление). Итого
.
Если
, то
. Т.е.
не меняется. Вначале было
и
. В пределе будет
, значит
.
Если
, то
и
.
Значит
.
Т.е.
убывает с постоянной скорость независящей от
.
Вначале эта сумма была
, вконце она равна
.
Значит время равно
.
Задача "Заяц и лиса"
Добавлено: 09 июн 2021, 10:04
zykov
Мне вот любопытно, в чём причина такой простоты?
Вроде саму траекторию аналитически не найти. При этом некоторые интегральные характеристики находятся довольно легко.
Есть некоторая аналогия с интегралами движения. Но те про динамику, а тут только кинематика.
Интересно, какое математическое свойство системы даёт эту простоту и как это можно обобщить?
Задача "Заяц и лиса"
Добавлено: 11 июн 2021, 08:57
peregoudov
Нашел я то
старое обсуждение на Дубине. Условия --- в сообщении #32, обсуждение решения начинается с #42 и заканчивается где-то примерно на #98.
Уравнение траектории нетрудно найти в общем случае. Поскольку формулы на Дубине сейчас не работают, фактически перепишу оттуда.
Вводим полярную систему координат с центром в зайце. Угол отсчитываем от направления движения зайца в сторону лисы. Тогда, проецируя относительную скорость на радиальное и азимутальное направления, найдем
откуда сразу получаем уравнение траектории
Интегрируя
При u=v получается парабола
Задача "Заяц и лиса"
Добавлено: 11 июн 2021, 09:59
zykov
Я так понимаю, кривая траектории всё же находится аналитически.
Но траекторя, как функция положения от времени - не находится.
А эту параболу можно получить как-то ещё проще?
Нужно в прямоугольных попробовать. (Правда это только при
.)
Задача "Заяц и лиса"
Добавлено: 11 июн 2021, 10:29
zykov
zykov писал(а):Source of the post Я так понимаю, кривая траектории всё же находится аналитически.
Понятно.
Это только с СО зайца она находится.
В исходной СО не найти (не зная зависимости от времени).
Задача "Заяц и лиса"
Добавлено: 11 июн 2021, 11:45
Ian
А говорят, что рэп-батлы это мода последних лет. они просто на дубине не бывали. но может и правда некоторым студентам/студенткам так проще запоминать научные идеи? мне точно ннет
Задача "Заяц и лиса"
Добавлено: 11 июн 2021, 14:03
peregoudov
На мой взгляд, тут аналогия хромает. Правильной была бы аналогия, где два рэпера обмениваются находками, а вокруг жужжит толпа импотентов. Вот обычная модель обсуждения на форумах.