Нить наматывается на вращающийся цилиндр

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Нить наматывается на вращающийся цилиндр

Сообщение peregoudov » 31 май 2021, 16:15

Цилиндр радиуса $r$ вращается с постоянной угловой скоростью $\omega$. На него намотана невесомая нерастяжимая нить, на свободном конце нити укреплена точечная масса $m$. Длину свободного конца нити как функцию времени обозначим за $l(t)$. Известны начальная длина свободного конца $l(0)=l_0$ и скорость изменения длины в начальный момент $\dot l(0)=u$. Нить считаем всегда натянутой. Найти $l(t)$. Показать, что при определенных условиях (каких?) нить никогда не сможет полностью намотаться на цилиндр.

Можно сперва попробовать решить при $\omega=0$ --- это намного проще.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Нить наматывается на вращающийся цилиндр

Сообщение zykov » 31 май 2021, 19:30

Можно прояснить условие?
А то если "вращается с постоянной угловой скоростью", то и скорость $l$ будет постоянной $r\omega$.

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Нить наматывается на вращающийся цилиндр

Сообщение peregoudov » 31 май 2021, 20:30

А если $\omega=0$, то и скорость будет нулевая? Но ведь нить еще может сматываться с цилиндра и наматываться на него...

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Нить наматывается на вращающийся цилиндр

Сообщение zykov » 31 май 2021, 20:56

Так что там происходит?
Этот груз вокург цилиндра что-ли летает?
Это всё в гравитации или нет?

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Нить наматывается на вращающийся цилиндр

Сообщение peregoudov » 31 май 2021, 23:41

Груз летает вокруг цилиндра. Про гравитацию в условии, вроде, ни полслова...

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Нить наматывается на вращающийся цилиндр

Сообщение zykov » 02 июн 2021, 23:29

Расположим координаты так, что в нулевой момент нить касается окружности в правой точке и идёт вниз.
Угол $\phi(t)$ - угол точки касания (равен нулю в нулевой момент).

Если окружность не вращается, то $l=l_0+\phi r$.
Если окружность вращается, то будет $l=l_0+(\phi-\omega t) r$. Тогда $\dot \phi=\dot l /r + \omega$.
Координаты груза:
$x = r \cos \phi + l \sin \phi$
$y = r \sin \phi - l \cos \phi$

Кинтеическая энергия (если положить $\frac m 2=1$) равна $(\dot x)^2+(\dot y)^2$.
Т.к. потенциальная энергия равна нулю, то Лагранжиан просто равен кинетической энергии.
$L(\dot l, l, t) = l^2 (\dot l)^2/r^2 + 2\omega l^2 \dot l /r+\omega^2 l^2+\omega^2 r^2$.
Отсюда уравнение движения: $l \ddot l + (\dot l)^2 - r^2 \omega^2 = 0$.
Если $\omega \neq 0$, то можно изменить масштаб $l(t) = r \omega q(t)$.
Тогда уравнение будет: $q \ddot q + (\dot q)^2 - 1 = 0$.

Если ещё подставить $q(t)=\sqrt {p(t)}$, то уравнение станет: $\ddot p - 2=0$.
Значит $q(t) = \pm \sqrt{2c_2 t + c_2^2 - c_1 + t^2}$.
И $l(t) = \pm r \omega \sqrt{2c_2 t + c_2^2 - c_1 + t^2}$.

При этом $c_2=l_0 u /(r \omega)^2$ и $c_1=l_0^2 u^2 /(r \omega)^4 - l_0^2 /(r \omega)^2$.
Значит $l(t) = \sqrt{l_0^2 + 2 l_0 u t + r^2 \omega^2 t^2}=\sqrt{(l_0 + u t)^2 + (r^2 \omega^2 - u^2) t^2}$.

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Нить наматывается на вращающийся цилиндр

Сообщение peregoudov » 11 июн 2021, 10:32

Да, вы, батенька, садист, сразу лагранжианом по башке :) А вообще забавно, согласитесь, что вся энергия тут --- кинетическая, но при этом она не сохраняется, а сохраняется другая величина (кстати, а почему вы упорно не пользуетесь лагранжевыми законами сохранения, а напрямую решаете лагранжевы уравнения --- это ведь сложнее?) А не сохраняется она потому, что вращающийся цилиндр над натянутой нитью совершает работу. И вот это наблюдение дает возможность решить задачу почти школьным методом.

Разобьем скорость массы m на параллельную и перпендикулярную нити. Параллельная связана с вращением цилиндра $v_\|=\omega r$, а перпендикулярная определяет силу натяжения $F=mv_\bot^2/l$, а вслед за ней --- мощность, развиваемую вращающимся цилиндром $P=Fv_\|$, которая равна производной кинетической энергии $\omega rv_\bot^2/l=\frac12(v_\bot^2+\omega^2r^2)'$. Изменение длины нити связано как с вращением цилиндра (вклад $v_\|$), так и с разматыванием нити за счет движения массы вокруг цилиндра (вклад $v_\bot$) $l'=-\omega r+(v_\bot/l)r$. В итоге имеем два уравнения

$$ v_\bot'=\omega r(v_\bot/l),\quad l'=-\omega r+(v_\bot/l)r. $$

Из них находим $v_\bot'-\omega l'=\omega^2r$, откуда $v_\bot-\omega l=\omega^2rt+ul_0/r$. Подставляя в уравнение для l, находим

$$ ll'=\omega^2r^2t+ul_0, $$

откуда уже $l^2=\omega^2r^2t^2+2ul_0t+l_0^2$ (ответ, естественно, тот же, что у вас). Нить не сможет полностью намотаться, если квадратный трехчлен в правой части имеет отрицательный дискриминант, а это происходит при $u^2<\omega^2r^2$.

Но еще красивее решение с переходом во вращающуюся систему отсчета. Там скорость массы перпендикулярна нити, а работу совершает только центробежная сила, поэтому уравнения упрощаются до

$$ v_\bot'=\omega^2r,\quad l'=(v_\bot/l)r $$

и интегрируются впрямую.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Нить наматывается на вращающийся цилиндр

Сообщение zykov » 11 июн 2021, 12:26

peregoudov писал(а):Source of the post сразу лагранжианом по башке

Так он для того и придуман, чтобы работать в обобщённых кординатах (смотри теормех).

Наверно можно было бы и в прямоугольных координатах законами Ньютона обойтись, но сложнее будет.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Нить наматывается на вращающийся цилиндр

Сообщение zykov » 11 июн 2021, 12:40

peregoudov писал(а):Source of the post Но еще красивее решение с переходом во вращающуюся систему отсчета

Наверно.
Там меня смущала сила Кориолиса.
Но если только энергию рассматривать, то Кориолис её не меняет (он только натяжение скорректирует).

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Нить наматывается на вращающийся цилиндр

Сообщение zykov » 11 июн 2021, 12:56

Мне тут показалось любопытным, что $\omega$ входит в виде квадрата, т.е. от её знака ничего не зависит.
Не важно в какую сторону крутится, решение тоже самое получается.

Например если $u = -r|\omega|$ и $\omega > 0$, то это просто наматываение по прямой.
А если у $\omega$ поменять знак, то всё равно будет наматывание с таким же $l(t)$, только в ту же сторону, что и вращение, которое разматывает, просто наматывание быстрее происходит.


Вернуться в «Физика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 5 гостей