Придумать задачу под уравнение

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Придумать задачу под уравнение

Сообщение Ian » 28 май 2021, 21:24

Уравнение колебаний с управлением
[math]
Сложность в том, что ограничение на управление естественно, если х и у равноправные переменные одной размерности, а не так что у производная х
Моделью какой физической задачи это может являться? Может, что-то из магнетизма, когда движение перпендикулярно силовым линиям?

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Придумать задачу под уравнение

Сообщение zykov » 28 май 2021, 22:18

Если исключить $y$, то будет $\ddot{x}+x-(\dot{u_1}+u_2)=0$.
Возможный Лагранжиан тут $$L(\dot{x},x,t) = \frac{1}{2}\left((\dot{x})^2-x^2+2x(\dot{u_1}+u_2)\right)$$.

С физической точки зрения это линейный осцилятор, на который действует внешняя нестационарная сила $\dot{u_1}+u_2$.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Придумать задачу под уравнение

Сообщение zykov » 28 май 2021, 22:33

Ian писал(а):Source of the post Может, что-то из магнетизма, когда движение перпендикулярно силовым линиям?

Да, можно и так взглянуть.
Если обозначить $v_x$ вместо $x$ и $v_y$ вместо $y$, то будет движение заряженной частицы в магнитном поле направленном вдоль оси $Z$ (смотри "Сила Лоренца", только $B_z$ неравно нулю, остальные $E$ и $B$ нулевые) под действием внешней нестационарной силы в плоскости $XY$ равной $(u_1(t), u_2(t))$.
Этой внешней силой могло бы быть например переменное поле $E$.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Придумать задачу под уравнение

Сообщение zykov » 28 май 2021, 23:11

Уравнение движения под действием силы Лоренца будет
$$m \dot{\vec v} =q(\vec {E} +\vec {v} \times \vec {B} )$$

Если положить:
$\vec v (0) = (A,0,0)$
$m=1$
$q=1$
$\vec B = (0,0,1)$
$\vec E = (u_1(t), u_2(t), 0)$
то получится Ваше уравнение, где $\vec v (t) = (x(t),y(t),0)$.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Придумать задачу под уравнение

Сообщение Ian » 28 май 2021, 23:34

zykov писал(а):Уравнение движения под действием силы Лоренца будет
$$m \dot{\vec v} =q(\vec {E} +\vec {v} \times \vec {B} )$$

Если положить:
$\vec v (0) = (A,0,0)$
$m=1$
$q=1$
$\vec B = (0,0,1)$
$\vec E = (u_1(t), u_2(t), 0)$
то получится Ваше уравнение, где $\vec v (t) = (x(t),y(t),0)$.
Значит словами: управляем движением частицы в электромагнитном поле, прилагая ограниченное по величине, но не по направлению электрическое. Теперь точнее о направлениях...(путаюсь)

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Придумать задачу под уравнение

Сообщение zykov » 28 май 2021, 23:36

Нет.
Движение заряженной частицы в однородном стационарном магнитном поле под действием однородного нестационарного электрического поля.

У Вас, электрическое поле перпендикулярно магнитному и не больше заданного по абсолютной величине.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Придумать задачу под уравнение

Сообщение Ian » 28 май 2021, 23:52

Учту. А как представить однородное стационарное магнитное поле? где его в жизни я мог видеть?

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Придумать задачу под уравнение

Сообщение zykov » 29 май 2021, 00:22

Ian писал(а):Source of the post А как представить однородное стационарное магнитное поле?

Однородное - не меняется в пространстве.
В жизни всегда меняется, но в достаточно малых масштабах можно считать однородным приближенно.
Стационарное - не меняется со временем.
Например постоянным магнит, который неподвижен. Или магнитная катушка, по которой течет постоянный ток (тоже неподвижна).

Вот например длинная катушка с постоянным током. Внутри неё будет однородное стационарное магнитное поле.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Придумать задачу под уравнение

Сообщение Ian » 29 май 2021, 00:55

zykov писал(а):Вот например длинная катушка с постоянным током. Внутри неё будет однородное стационарное магнитное поле.
Это да легко представить. и даже сделать. И что действительно внутри заряд будет кругами летать? (Мне же это нужно чтоб при u=0 было)
заряд будет выталкиваться вдоль катушки это даже я знаю (ой это в момент включения или перемены тока. на этом принципе звонок)
Последний раз редактировалось Ian 29 май 2021, 09:49, всего редактировалось 1 раз.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Придумать задачу под уравнение

Сообщение zykov » 29 май 2021, 01:11

В однородном поле кругами летает.
Но в реальности всегда хоть немного, но неоднородно.
Если интересен эффект неоднородности, то в ЛЛ2 рассмотрен случай движения в слабонеоднородном поле.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Придумать задачу под уравнение

Сообщение Ian » 29 май 2021, 09:18

Наоборот мне бы прикладную статью. Тогда можно считать исходную систему поиском способа гашения индукционного тока, например? Просто так получилось, что о решениях исходной абстрактной задачи я знаю практически все, в частности множества достижимости X(t), там не совсем тривиально, спирали Архимеда возникают например. И нужны какие-то простые термины , ассоциируемые с жизнью, чтобы объяснить возможные цели управления и какие ограничения на управление считать естественными

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Придумать задачу под уравнение

Сообщение zykov » 29 май 2021, 15:15

zykov писал(а):Source of the post С физической точки зрения это линейный осцилятор, на который действует внешняя нестационарная сила

Думаю, ничего нового тут не добавить. Это уровень старших классов/первого курса ВУЗа.
Самое интересное тут - это резонанс. Это если внешняя сила имеет гармонику той же частоты, что и осцилятор. Даже если внешняя сила мала по величине, осцилятор будет раскачиватся и амплитуда будет неограниченно расти.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Придумать задачу под уравнение

Сообщение Ian » 29 май 2021, 16:50

Спасибо. Получается что задача с помощью внешней силы (ограниченной по модулю) как можно быстрее погасить вибрацию, или индукционный ток , и тд. -тоже решается с помощью силы, имеющей резонансную частоту (а разве кто сомневался)) Все таки, ув. участники, если придет в голову еще хорошая аналогия, тоже пригодится

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Придумать задачу под уравнение

Сообщение zykov » 29 май 2021, 17:15

Ian писал(а):Source of the post чтобы объяснить возможные цели управления

Непонятно, почему Вы говорите про "управление"...
Управление подразумевает наличие обратной связи "сенсор - управляющая схема - мотор". Тогда должно быть не $u(t)$, а $u(t,x,y)$.

Это за редким исключением стабилизирвонных динамических систем вроде маятника Капицы (что впрочем пример стабилизации, а не управления).

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Придумать задачу под уравнение

Сообщение peregoudov » 29 май 2021, 20:57

Только вот так запросто размахивать электрическим полем, сохраняя однородность магнитного, не получится, ибо $c^2\nabla\times{\bf B}=\partial{\bf E}/\partial t$.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Придумать задачу под уравнение

Сообщение zykov » 29 май 2021, 21:49

Да, предполагается, что скорость изменения электрического поля достаточно мала.
(Ну или просто какая-то другая внешнея сила.)

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Придумать задачу под уравнение

Сообщение Ian » 30 май 2021, 12:16

Спасибо всем!
zykov писал(а):Непонятно, почему Вы говорите про "управление"...
Управление подразумевает наличие обратной связи "сенсор - управляющая схема - мотор". Тогда должно быть не $u(t)$, а $u(t,x,y)$.

Это за редким исключением стабилизирвонных динамических систем вроде маятника Капицы (что впрочем пример стабилизации, а не управления).
В задачах на "управляемость" динамических систем (напр. по учебнику Благодатских. Введение в оптимальное управление, Л7,8) даже в простых примерах получается, что достижимость нужного положения (я взял - нуля) за время t устанавливается стандартно и единообразно (через "множества достижимости", интегралы от многозначных функций), но с помощью какой функции u(t) это надо делать, не очевидно, его искать отдельно надо . И действительно часто удобнее и естественно выразить, как в этой задаче, [math]
через текущее положение , а не через t, но главный ответ не меняется, существует возможность управления значит будем искать, а нет так не будем


Вернуться в «Физика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 8 гостей