Впрочем считать нет необходимости.
Несложно показать из симметрии, что при повороте вокруг центра суммарная сила не изменится. Только появится момент силы.
Пусть у нас есть полусфера
и
, равномерно заряженная с суммарным зарядом
.
Напряженность поля этой полусферы будет осесимметричной (переходит в себя при любом повороте вокруг оси, а так же при отраженнии в плоскости проходящей через ось). Значит вектор напряженности имеет только две компоненты - радиалную (
) и вдоль оси
(
).
Пусть в какой-то точке внутри единичного шара напряженность
и
, а в другой зеркально симметричной относительно плоскости
точке напряженность
и
. Рассмотрим поле второй полусферы (
). Т.к. она зеркально симметрична первой полусфере, то и её поле зеркально симметрично. Так например поле второй полусферы в первой точке будет
и
.
Суммарное поле двух полусфер - это поле полной сферы. Внутри единичного шара оно равно нулю. Значит
и
.
Теперь добавим другую меньшую полусферу с тем же основанием (
) и затем её повернем (
).
- sph.png (4.83 KiB) 28404 просмотра
Отсюда видно, что при повороте суммарная сила не изменилась.
Из симметрии, радиальная сила на сектор
равна по абсолютной величине и направлена в обратную сторону от силы на сектор
. В то же время, продольная сила (вдоль
) на сектор
равна силе на сектор
.
С другой стороны, радиальная сила на сектор
равна по абсолютной величине и направлена в обратную сторону от силы на сектор
. И, продольная сила на сектор
равна силе на сектор
.
Значит полная сила на сектор
равна полной силе на сектор
. Т.е. полная сила на полусферу
, такая же как и на полусферу
.
Единственное, что момент силы добавился. Момент силы на сектор
равен нулю. А момент силы на сектор
уже ненулевой.
Правда пока не понятно, как доказать, что сила на маленькую полусферу с тем же основанием не зависит от её радиуса. Здесь симметрия ничего не даёт.