Тут мои нефтяники пытаются разрабатывать некий физический прибор, призванный определять, что в него налито Определять предполагают по диэлектрической проницаемости, точнее --- по резонансной кривой.
И возник у них вопрос, а как, собственно, связана диэлектрическая проницаемость налитого (в общем случае комплексная и диспергирующая) с параметрами резонанса --- резонансной частотой и полушириной, с учетом того, что и сам резонатор не вполне идеальный, стенки имеют конечную проводимость.
В "отпаянном" варианте имеем просто полость внутри проводника, заполненную диэлектриком. В "проточном" варианте все это сидит на трубе, и там есть дополнительные вопросы.
Я нашел книжку
А. С. Ильинский, Г. Я. Слепян "Колебания и волны в электродинамических системах с потерями". М.: Изд. МГУ, 1983.
Там излагается некий метод расчета, основанный на разложении по собственным функциям пустого резонатора с идеально проводящими стенками. При этом авторы делают какие-то странные утверждения про полноту и ортогональность, а также про какие-то потенциальные функции (ссылка на страничку). Сами они ничего не доказывают, а ссылаются на книжку
В. В. Никольский "Электродинамика и распространение радиоволн". М.: Наука, 1974.
Однако там тоже никакого доказательства нет (ссылка на страничку).
И первый вопрос будет такой: что вообще известно о задаче на собственные значения для уравнений Максвелла в случае полых идеальных резонаторов? Естественно, когда она не сводится к скалярным задачам для уравнения Лапласа --- тут-то все описано в стандартных курсах матфизики.
А второй вопрос будет про трубу (открытый резонатор): как быть, если собственных колебаний вообще нет, даже в пустом идеальном резонаторе?
Расчет резонаторов с потерями
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Расчет резонаторов с потерями
Обычно математики ссылаются на теорему Гильберта-Шмидта:Собственные функции 1)симметричного 2)компактного оператора в гилбертовом пространстве образуют ПОНС. Компактным является интегральный оператор, а если ядро симметричное (/эрмитово-), то и он. А здесь можно ли уравнения представить как интегральные?(совершенно не знаю тему)peregoudov писал(а): При этом авторы делают какие-то странные утверждения про полноту и ортогональность
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Расчет резонаторов с потерями
Хороший вопрос! Есть достаточно стандартный метод сведения дифференциальных уравнений в области к интегральным на границе (всякие там теоремы представления, потенциалы простого и двойного слоев), но в стандартных курсах матфизики все это излагается для скалярных уравнений. Ну то есть если бы у нас была задача на собственные значения оператора Лапласа в области, то проблем бы не было. В принципе, стационарного Максвелла можно свести к Лапласу для отдельных декартовых компонент, скажем, вектора E. (Правда, тогда надо отдельно добавлять условие, что он имеет еще и нулевую дивергенцию.) Но граничные-то условия ставятся не для декартовых компонент, а для касательных к границе! Тут-то все и запутается.
В общем, я попробую этот путь. Но разве все результаты по неограниченным операторам в конечном итоге сводятся к Гильберту---Шмидту? Разве нет независимой теории неограниченных операторов? Или каких-то конкретных исследований операторов, встречающихся в матфизике?
В общем, я попробую этот путь. Но разве все результаты по неограниченным операторам в конечном итоге сводятся к Гильберту---Шмидту? Разве нет независимой теории неограниченных операторов? Или каких-то конкретных исследований операторов, встречающихся в матфизике?
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Расчет резонаторов с потерями
Хотя я, наверное, вру. Я знаю, как свести уравнение в области к уравнению на границе, а нам ведь надо свести задачу на собственные значения...
Давайте я просто напишу, что я знаю для Лапласа. Пусть есть задача на собственные значения для уравнения Лапласа в области
с граничным условием на границе
Элементарным интегрированием по частям доказывается равенство
Если взять в качестве фундаментальное решение уравнения Гельмголца
то получаем представление для
откуда, опуская на границу, получаем интегральное уравнение (учтен скачок потенциала двойного слоя)
Если же взять в качестве фундаментальное решение уравнения Лапласа, то получим
Все не то... А вот если бы у нас была не задача на собственные значения, а уравнение Пуассона с известной правой частью
то, как это написано в любом стандартном курсе, мы бы свели ее к интегральному уравнению на границе
Давайте я просто напишу, что я знаю для Лапласа. Пусть есть задача на собственные значения для уравнения Лапласа в области
с граничным условием на границе
Элементарным интегрированием по частям доказывается равенство
Если взять в качестве фундаментальное решение уравнения Гельмголца
то получаем представление для
откуда, опуская на границу, получаем интегральное уравнение (учтен скачок потенциала двойного слоя)
Если же взять в качестве фундаментальное решение уравнения Лапласа, то получим
Все не то... А вот если бы у нас была не задача на собственные значения, а уравнение Пуассона с известной правой частью
то, как это написано в любом стандартном курсе, мы бы свели ее к интегральному уравнению на границе
Расчет резонаторов с потерями
Ну я же не знал что максвелла-неограниченный. Где-то слышал мелькомperegoudov писал(а):Но разве все результаты по неограниченным операторам в конечном итоге сводятся к Гильберту---Шмидту?
Есть, но такое впечатление, что больше на западе популярна , чем в РоссииРазве нет независимой теории неограниченных операторов?
Обязаны быть.Или каких-то конкретных исследований операторов, встречающихся в матфизике?
Но я еще не все мысли сказал. Если оператор имеет ПОНС, значит диагонализируемую матрицу. Если к тому же все собственные числа действительны, то он самосопряжен (~симметричен) Это можно прямо доказать. Если нет, то хотя бы нормален,имеет спектральное разложение. Может быть и неограниченным, если собственные числа стремятся к бесконечности.Неограниченность пока ни на что не влияет. Наверное надо угадать оператор, о котором говорят авторы. Зря они не указали четко, человек с математической культурой не забыл бы.
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Расчет резонаторов с потерями
Как это не указали четко?
Имеем уравнения
в области с (для простоты) гладкой границей , на которой
Они как-то странно опускают, может быть, оно действительно из следует?
Во втором варианте исключаем , тогда в области
а на границе
Опять они второе граничное условие почему-то опускают.
Для скалярного оператора Лапласа, то есть для уравнения
с граничным условием либо либо (так называемые лапласианы Дирихле и Неймана) известно, что оператор самосопряжен, спектр целиком дискретный, и даже асимптотика собственных значений в общем случае вычислена.
Но задача после исключения не распадается на три скалярные задачи.
--- вот это и есть четкое указание оператора. А в явном виде --- первые две ненумерованные формулы на стр. 73 в первом скане, либо формулы (69.14), (69.15) во втором.peregoudov писал(а):Source of the post задаче на собственные значения для уравнений Максвелла в случае полых идеальных резонаторов
Имеем уравнения
в области с (для простоты) гладкой границей , на которой
Они как-то странно опускают, может быть, оно действительно из следует?
Во втором варианте исключаем , тогда в области
а на границе
Опять они второе граничное условие почему-то опускают.
Для скалярного оператора Лапласа, то есть для уравнения
с граничным условием либо либо (так называемые лапласианы Дирихле и Неймана) известно, что оператор самосопряжен, спектр целиком дискретный, и даже асимптотика собственных значений в общем случае вычислена.
Но задача после исключения не распадается на три скалярные задачи.
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Расчет резонаторов с потерями
Ну так как с самосопряженностью?
Вот, допустим, в постановке с системой уравнений первого порядка. Вводим столбец , тогда оператор представляется матрицей
В компонентной записи , в явной матричной записи
Оператор формально симметричный
Поверхностный член равен
и обращается в нуль в силу граничного условия .
Вот, допустим, в постановке с системой уравнений первого порядка. Вводим столбец , тогда оператор представляется матрицей
В компонентной записи , в явной матричной записи
Оператор формально симметричный
Поверхностный член равен
и обращается в нуль в силу граничного условия .
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Расчет резонаторов с потерями
Что-то я туплю не по детски. Хотел рассчитать возбуждение волновода круглого сечения, в который коаксиально вставлен отрезок волновода меньшего радиуса. Пока что для пустого, без заполняющей среды, волновода с идеально проводящими стенками. Общее решение (для заданной частоты) как для цилиндрического волновода, так и для волновода в виде цилиндрического слоя нетрудно получить. Для простоты можно даже рассматривать аксиально-симметричный и зеркально-симметричный относительно среднего сечения вставки случай (в этом среднем сечении будет лежать источник возбуждения --- аксиально-симметричная токовая петля). А дальше нужно сопрячь три решения в отдельных областях на сечении, проходящем через край вставки. Вроде бы условия сопряжения очевидны: непрерывность электрического и магнитного полей. Проблема в том, что это дает шесть условий, а в общем решении всего четыре коэффициента: амплитуды так называемых TE- и TH-волн, распространяющихся вдоль волновода в противоположных направлениях. (В моем случае все немного проще, возбуждается только TE-волна, но все равно получается 3 условия на 2 коэффициента.) Казалось бы, одно из условий должно оказаться следствием двух других, но этого не происходит. У кого-нибудь есть идеи, как это преодолеть?
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 2 гостей