Падение пружинки слинки

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 23 дек 2021, 14:23

Думаю, многие видели и саму пружинку и разные видео с ее участием. Я хочу построить математическую модель падения пружинки, типа вот такого https://www.youtube.com/watch?v=eCMmmEEyOO0&t=156s

Я могу написать простенькую модель для упругого стержня длины $l$

, падающего в однородном поле тяжести. Его движение описывается функцией $x(t,s)$

, где

--- декартова координата, $t$

--- время, $s$

--- лагранжева координата. Для покоящегося недеформированного стержня $x=s$

.

Модель упругости возьмем самую простую, гуковскую: $F=k(x_s-1)$

. Пусть $\lambda$ --- линейная плотность массы в лагранжевых координатах, тогда уравнение движения $\lambda x_{tt}=kx_{ss}+\lambda g$ или

$x_{tt}=c^2x_{ss}+g,$

где $c^2=k/\lambda$ --- скорость звука в лагранжевых координатах.

Граничные условия --- отсутствие упругих сил на концах

$x_s(t,0)=1,\quad x_s(t,l)=1.$

Одно начальное условие --- $x_t(0,s)=0$

. А чтобы найти второе, нужно решить уравнение $c^2x_{ss}+g=0$ с граничными условиями $x(0)=0$

(верхний конец держим), $x_s(l)=1$

(нижний свободный). Получаем

$x(0,s)=\frac g{2c^2}(2sl-s^2)+s,\quad x_t(0,s)=0.$

Решением на промежутке $0<t<l/c$

является

где

$f(s)=\begin{cases} -gls/c^2,&s<0,\\ 0&s>0. \end{cases}$

Иначе говоря, пока упругая волна от отпущенного верхнего конца не дойдет до нижнего, нижний и не сдвинется.

Верхний же конец движется равномерно

$$ x(t,0)=glt/c. $$

Чем плоха эта модель? Да тем, что упругие напряжения

$F/k=x_s-1=\begin{cases} -gs/c^2,&s<ct,\\ g(l-s)/c^2,&s>ct \end{cases}$

меняют знак на фронте упругой волны. Более того, для слинки характерный параметр $gl/c^2\gg1$ , что вообще приводит к тому, что стержень складывается в обратную сторону, нарушается неравенство $x(t,l)>x(t,0)$

.

Очевидно, для слинки нужна другая модель, учитывающая, что она подобна стержню лишь при растяжении, но при сжатии ведет себя совсем по-другому. Была у меня мысль, что схлопнувшиеся (возможно, даже неупруго) витки слинки падают как единое целое. Тогда, если ко времени $t$

схлопнулись витки вплоть до $s$

, координата верхнего конца пружины равна

$x_{\textrm{up}}=\frac g{2c^2}(2ls-s^2),$

а импульс схлопнувшихся витков равен

$p/\lambda=s\frac{dx_{\textrm{up}}}{dt}=\frac g{c^2}s(l-s)\frac{ds}{dt}.$

с другой стороны, импульс силы тяжести за время $t$

равен

, приравнивая,

$s(l-s)\frac{ds}{dt}=lc^2t$

или

$\frac12(s/l)^2-\frac13(s/l)^3=\frac12(ct/l)^2.$

Из последнего уравнения очевидно, что $s>ct$

, что уже странно, а вся пружина схлопнется за $(ct/l)^2=1/3$

--- гораздо быстрее, чем упругая волна успеет дойти до нижнего конца.

Нужны идеи...

zykov · Сообщение **zykov** » 23 дек 2021, 18:20

peregoudov писал(а):Source of the post Очевидно, для слинки нужна другая модель, учитывающая, что она подобна стержню лишь при растяжении, но при сжатии ведет себя совсем по-другому.

Да. В этом проблема.
Можно было бы взять потенциал - квадратичный при смещении более нуля и бесконечный менее нуля.
Но и это скорее всего не верно. Тут будет упругое отражение от этой бесконечной стенки. Но в действительности там скорее неупругое будет в значительной степени.

Вобщем в этом и проблема - смоделировать такое упруго-неупругое взаимодействие. Причем не дискретно (как например мяч от поверхности отскакивает), а нужна непрерывная модель вдоль всего этого устройства.
На компьютере с какой-то сеткой это элементарно сделать. А вот чисто теоретически - не просто. Если и получится, то придётся повозиться.

zykov · Сообщение **zykov** » 23 дек 2021, 19:33

peregoudov писал(а):Source of the post с другой стороны, импульс силы тяжести за время равен , приравнивая,

А тут нет ошибки?
На верхнюю часть не только сила тяжести действовала, но и упругость от нижней части.

zykov · Сообщение **zykov** » 23 дек 2021, 20:00

peregoudov писал(а):Source of the post Тогда, если ко времени схлопнулись витки вплоть до , координата верхнего конца пружины равна

$x_{\textrm{up}}=\frac g{2c^2}(2ls-s^2),$

Тут мне кажется не верно.
Нужно явно составить дифур для $s_0(t)$

- размер схлопнувшейся верхушки до $s_0$

.
Тогда для дифура в частных производных вместо граничных условий

peregoudov писал(а):Source of the post
$x_s(t,0)=1,\quad x_s(t,l)=1.$

будет $x_s(t,s_0)=0,\quad x_s(t,l)=0$ для области $s_0 < s < l$

.
(Почему кстати было равно 1? Опечатка?)

Тут вот тоже какая-то сингулярность. Вначале натяжение при $s=0$

было ненулевое. Но после того как отпустили, мы накладываем граничное условие, что натяжение на конце нулевое. Как это обиграть - непонятно.
Возможно, надо как-то поменять начальное условие при $t=0$

.

zykov · Сообщение **zykov** » 23 дек 2021, 22:44

Возьмем модель, когда схлопывание идёт абсолютно неупруго.
Чтобы разобратся с сингулярностью (когда конечная сила действует на бесконечно малую массу, и та получает бесконечно большое ускорение), рассмотрим малый началный интервал времени, когда возмущение распространилось на длинну $s$

гораздо меньше $l$

.
Пусть

- точка близкая к нулю где ещё нет возмущения. То что ниже - ещё покоится. Сила тяжести скомпенсирована силой упругости. На малый кусок выше действует сила упругости от нижнего куска (равно весу нижнего куска) и его собственный вес. Т.е. в сумме сила равна $\lambda l g$ и импульс равен $\lambda l g t$ . Значит скорость центра масс этого кусочка равна $v=\frac{\lambda l g t}{\lambda s_0}=\frac{l g t}{s_0}$ .

Если предположить, что скорость движения не ниже скорости звука, то возмущение будет распространятся со скорость движения начального кусочка, который схлопнулся. Тогда $\dot {s_0}=v/x_s(0,s_0)$ .
Вначале $x_s(0,s_0) \approx x_s(0,0)=\frac{\lambda l g}{k}$ . Тогда $\dot{s_0}=\frac{k t}{\lambda s_0}$ .
Отсюда $s_0(t)=\sqrt{\frac{k}{\lambda}} t = c t$ .
Дальше $x_s(0,s_0)$

будет меньше чем $x_s(0,0)$

, значит скорость схлопывания будет выше скорости звука.

Т.е. в целом процесс такой, что верхняя часть падает схлопывась. При этом нижняя часть, куда ещё не дошло схлопывание, висит неподвижно.
Если подставить $x_s(0,s)$

от peregoudov, то полное время схлопывания выходит $T=\sqrt{\frac{l}{g}+\frac{l^2}{3c^2}}$ .

zykov · Сообщение **zykov** » 23 дек 2021, 22:58

zykov писал(а):Source of the post (Почему кстати было равно 1? Опечатка?)

Понял, при 1 нет растяжения.

zykov · Сообщение **zykov** » 23 дек 2021, 23:18

zykov писал(а):Source of the post Вначале $x_s(0,s_0) \approx x_s(0,0)=\frac{\lambda l g}{k}$ . Тогда $\dot{s_0}=\frac{k t}{\lambda s_0}$ .

Тут не совсем так.
$x_s(0,0)=1+\frac{\lambda l g}{k}$
Тогда $\dot{s_0}=\frac{t}{s_0 (1/c^2+1/(l g))}$ и $s_0(t)=\frac{ct}{\sqrt{1+c^2/(l g)}}$ .

Т.е. скорость схлопывания будет чуть меньше, чем скорость звука.
При условии $\frac{lg}{c^2} \gg 1$ скорости будут мало отличатся и результат будет близок к тому, что я получил.
При малых $g$

скорость звука будет гораздо больше скорости схлопывания. Результат будет другой.

zykov · Сообщение **zykov** » 24 дек 2021, 00:58

zykov писал(а):Source of the post Т.е. скорость схлопывания будет чуть меньше, чем скорость звука.

Но она быстро её догонит и перегонит.
Примерно при $s_{cr}=\frac{c^2}{2g} \ll l$ . Потом схлопывание будет со сверхзвуковой скоростью. Поэтому и время меньше $\frac{l}{c}$ .

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 24 дек 2021, 10:23

zykov писал(а):Source of the post А тут нет ошибки?

Нет. Приращение импульса системы равно импульсу внешних сил (в данном случае тяжести) --- ведь все внутренние попарно компенсируются.

zykov писал(а):Source of the post Тут мне кажется не верно.

Это просто $x(0,s)-s$

--- ведь верхняя схлопнувшаяся часть пружинки от 0 до $s$

занимает высоту ровно $s$

, а нижняя часть как висела неподвижно, так и висит.

В общем, у меня все вопросы остались. Давайте какие-то согласованные позиции хотя бы наметим. На растяжение пружинка ведет себя как стержень, упруго, примерно линейно? Начальная деформация $x(0,s)$

такая, как я написал?

zykov писал(а):Source of the post схлопывание будет со сверхзвуковой скоростью

Ударная волна? Но тогда нужно нелинейное уравнение.

Признаюсь, у меня был еще один вариант. От 0 до $s_1(t)$

пружинка схлопнулась и движется как целое, от $s_1(t)$

до

область возмущения, далее область покоя. Но я не смог понять, из каких соображений найти две неизвестные функции $s_1(t)$

и

(волну в возмущенной области).

zykov · Сообщение **zykov** » 24 дек 2021, 11:52

peregoudov писал(а):Source of the post Ударная волна? Но тогда нужно нелинейное уравнение

Само собой оно нелинейное. Линейно только при растяжении, когда $x_s \geq 1$ . Ниже 1 оно не может пойти. И там сила непотенциальная, т.к. происходит неупругое схлопывание. (В реальности наверно есть какая-то небольшая упругость, но это трудно учесть.)

peregoudov писал(а):Source of the post Признаюсь, у меня был еще один вариант. От 0 до пружинка схлопнулась и движется как целое, от до область возмущения, далее область покоя

Да, так я и считал. Но т.к. скорость движения этой схлопнувшейся части будет больше скорости звука, то области возмущения нет (кроме самого начала до $s_{cr}$ , когда она есть, но очень маленькая).

Это всё при $\frac{gl}{c^2} \gg 1$ . Если $g$

маленький, то схлопывание медленно пойдёт и там будет звуковая волна бегать туда-обратно отражаясь. Картина будет другая.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 24 дек 2021, 16:40

zykov писал(а):Source of the post Тогда $\dot {s_0}=v/x_s(0,s_0)$ .

Я, честно говоря, вот этого вашего "тогда" не понял. И не понял, дальнейшее решение для $s_0(t)$

--- оно для произвольного $t$

или только в начале движения.

zykov писал(а):Source of the post Это всё при $\frac{gl}{c^2} \gg 1$ .

Очевидно, этот случай и интересует.

Тут проблема, видимо, в том, что для стержня на фронте волны растяжение сменяется сжатием, а сжатие слинки мы не умеем описывать.

Есть у меня еще две идеи. Первая: попробовать дискретную цепочку из масс, соединенных пружинками, причем при соударении массы слипаются. Вторая: заказать слинку и провести серию экспериментов. Может, можно будет разглядеть какие-то закономерности, которых не видно на видео с ютуба, а они наведут на какие-нибудь умные мысли...

zykov · Сообщение **zykov** » 24 дек 2021, 19:21

peregoudov писал(а):Source of the post Я, честно говоря, вот этого вашего "тогда" не понял.

Рассуждение выше про импульс вообще говоря верно для любого момента. Но оно даёт скорость центра масс той части, которая не в покое, что не сильно полезно, т.к. в общем случае это будет протяженная система в которой разные скорости в разных местах.
Изначально это делалось, чтобы понять что будет с сингулярностью в самом начале.

Но его можно и дальше использовать (до самого конца), если считать что возмущение идёт от схолпывания, а не от скорости звука.
Тогда схлопнувшаяся часть летит как целое. Её скорость равна этой скорости центра масс. И с этой скоростью $v=\frac{dx}{dt}$ она налетает на покоившуюся часть и заметает новые куски.
Но нам интересна скорость заметания в переменной $\dot s = \frac{ds}{dt}$ . Т.к. часть в покое имеет ту же форму что и до того как отпустили, то $(\frac{dx}{dt}) / (\frac{ds}{dt}) = x_s$ , где $x$

был вычеслен в покое. Отсюда и дифур для продвижения точки возмущения по времени.
Единственное, наверно я пренебрег размером схлопнувшейся части (что оправдано, т.к. в основном растяжение много больше 1). Тогда эту единичку, что я позже добавил, надо обратно вычесть.

zykov · Сообщение **zykov** » 25 дек 2021, 16:45

Вот перепишу начисто, а то выше нечётко было.
Из сохранения импульса скорость с которой летит схлопнувшаяся масса ( $s$

от

до

) равна $v=lg\frac{t}{s_0}$ .
Она с этой скоростью налетает на покоившуюся часть и заметает её. Плюс, ещё длина этого схлопнувшегося куска растёт.
После схлопывания $x_s=1$

, так что

.
Форма части в покое (после $s_0$

) такая же как и была до отпускания.
Т.е. $x_s=\frac{g}{c^2}(l-s)+1$ . И $dx=x_s ds_0$

.
Получаем $(\frac{g}{c^2}(l-s_0)+1)ds_0=ds_0+v dt$ и значит $\frac{g}{c^2}(l-s_0) ds_0=lg\frac{t}{s_0} dt$ .
Разделяя переменные получаем $\frac{1}{l c^2}(l-s_0) s_0 ds_0=t dt$ .
Итрегриуем левую часть по $s_0$

от

до

и правую часть по $t$

от

до

.
Получаем $\frac{1}{l c^2} \cdot \frac{l^3}{6}=\frac{T^2}{2}$ .
Отсюда $T=\frac{l}{c \sqrt 3}$ .

В самом начале $\frac{1}{c^2} s_0 ds_0=t dt$ , т.е. $\frac{d(s_0^2)}{d(t^2)}=c^2$ . Значит начальная скорость схлопнувшейся части была равна скорости звука и потом она росла. Значит вообще не было участка, где возмущение было за счёт скорости звука. С самого начала схлопывание шло со сверхзвуковой скоростью.

nedokuril · Сообщение **nedokuril** » 27 дек 2021, 07:00

peregoudov писал(а):Source of the post Давайте какие-то согласованные позиции хотя бы наметим. На растяжение пружинка ведет себя как стержень, упруго, примерно линейно? Начальная деформация такая, как я написал?

Да, и с граничным условием $x_s(0, 0)=1$

все нормально (то, что я тупил в почте на Сайтехе).
Мне кажется, что ударную волну и изменение уравнения надо обсуждать, как развитие какой-то катастрофы в звуковой.
Математический импотент (я) мечтает, как бы он считал развитие возмущений через функцию Грина, воткнув уже готовый начальный профиль, как возмущение... возможно в падающей СО... :roll:

Вообщем про глупости всякие.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 27 дек 2021, 10:11

zykov писал(а):Source of the post Вот перепишу начисто, а то выше нечётко было.

Ну, это вы фактически воспроизвели второе решение из стартового поста.

zykov · Сообщение **zykov** » 27 дек 2021, 18:14

Замечательно. Это собственно и описывает процесс.

peregoudov писал(а):Source of the post Нужны идеи...

Какие тогда идеи нужны?

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 29 дек 2021, 15:47

Ну как, это ведь не решение, а чистый волюнтаризм. Пусть движение вот такое! В таких волюнтаристских решениях все что угодно можно нежданчиком получить. Вот вас, например, не смущает, что скорость волны не просто больше скорости звука, а уходит в бесконечность при приближении к нижнему концу? Или что механическая энергия на начальном этапе растет? Вроде как в неупругом случае она должна только убывать...

zykov · Сообщение **zykov** » 29 дек 2021, 22:57

peregoudov писал(а):Source of the post что скорость волны не просто больше скорости звука

Там не скорость волны больше скорости звука, а скорость процесса.
Когда кольца пружины схлопываются (касаются соседних), то там уже совсем другая упругость - собственно упругость материала, которая на порядки выше, чем при растяжении пружины. При растяжении пружины это было малое кручение материала (на малый угол). А тут непосредственное сжатие. Для этой огромной упургости и скорость звука будет огромной. А та малая скорость звука растянутой пружины тут уже не имеет никакого значение.

peregoudov писал(а):Source of the post а уходит в бесконечность при приближении к нижнему концу?

Не вижу где?
Скорость равна $v=lg\frac{t}{s_0}$ . В конце $s_0=l$

и получим

, что вполне конечно.

peregoudov писал(а):Source of the post Или что механическая энергия на начальном этапе растет?

Тоже не вижу откуда? Может забыли что-то учесть?
Полная механическая энергия равна сумме кинетической, потенциальной в поле тяжести, потенциальной от растяжения пружины.

nedokuril · Сообщение **nedokuril** » 31 дек 2021, 02:31

В обоих случаях верх пружины движется, как целое, и это точно неверно : импульс, получаемый пружиной от силы тяжести всей пружины, не может без непрерывной перекачки импульса равномерно распределяться по этой движущейся части пружины.
Самый верх пружины будет, даже по последней модели, получать этот импульс дольше, чем средние слои. И кроме того в начале весь импульс получается через фронт возмущения.
Перераспределение импульса это напряжения и деформации - не будет целостности и расслабленности.
Но это допущение выглядит безобидным, а результат вроде как дальше точный и не зависит от свойств пружины, которая может быть автомобильной пружиной амортизации - эта вряд ли схлопнется или вывернется наизнанку. Странно, но получается все дело в этом предположении.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 12 янв 2022, 20:57

zykov писал(а):Source of the post Может забыли что-то учесть?

Да, с энергией, похоже, забыл учесть сброс энергии при сжатии пружинки.

zykov писал(а):Source of the post Не вижу где?
Скорость равна $v=lg\frac{t}{s_0}$ .

Это вы скорость среды пишете, а я про скорость волны, которая равна $v+ds_0/dt$

. Но, возможно, вы и правы, в схлопнувшейся части скорость может быть как угодно высокой.

Портал Естественных Наук, версия 1.1