Страница 1 из 1
Странная задача из ТФКП
Добавлено: 21 авг 2019, 10:48
Ian
Я даю условие картинкой, чтобы показать, что это предложено студентам
- Снимок.JPG (22.42 KiB) 16996 просмотра
Как-то это все показалось похоже на
viewtopic.php?f=4&t=702&p=1767&Но там делали и без КП.
Здесь: могу показать, что ряд сходится при всех комплексных
[math]a, кроме целых нечетных точек, просто выделением действительной и мнимой частей. Дальше можно бы подобрать мероморфную функцию, имеющую такие же вычеты в нечетных точках, типа
[math]f(a)=A+\frac {Ba}{\cos \frac{\pi a}2}и по теореме Миттаг-Лефлера она представляется рядом из рациональных функций, то есть равна исходной сумме.
Но неужели студентам надо так решать? И что со вторым вопросом?
Странная задача из ТФКП
Добавлено: 21 авг 2019, 14:07
zykov
Если легко найти
, то второе получится из первого (при
) вычитанием этой суммы.
Странная задача из ТФКП
Добавлено: 21 авг 2019, 16:30
zykov
Вольфрам выдал, что
это
Catalan's Constant.
Странная задача из ТФКП
Добавлено: 21 авг 2019, 16:36
zykov
Для первого вольфрам выдал
.
Странная задача из ТФКП
Добавлено: 21 авг 2019, 17:51
Ian
zykov писал(а):Если легко найти
А это легко?(
Странная задача из ТФКП
Добавлено: 21 авг 2019, 20:00
Ian
zykov писал(а):Для первого вольфрам выдал
.
И любопытно получается, если и левую и правую часть разложить в степенной ряд в нуле.
Фактически по определению чисел Эйлера, в правой части разложим секанс
[math]\frac{\pi}{4 \cos (\pi a/2)}=\frac{\pi}{4}\sum_{m=0}^{\infty}(\pi a/2)^{2m}\frac{|E_{m}|}{(2m)!}А в левой части разложим на прогрессии
[math]\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{2k+1}{(2k+1)^2-a^2}=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \sum_{m=0}^\infty\frac{a^{2m}}{(2k+1)^{2m+1}}=[math]=\sum_{m=0}^\infty a^{2m} \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^{2m+1}}Приравниваем и получаем простую формулу для чисел Эйлера
[math]E_m, которые между прочим должны быть целые...
Тут
http://oeis.org/A000364 в разделе FORMULA такой нет)
Странная задача из ТФКП
Добавлено: 22 авг 2019, 06:57
zykov
Ну не такую уж простую. Всё таки бесконечная сумма.
Так например для этого Catalan's Constant там много разных формул.
Там же на
вольфрам начиная с (20): "There are a large number of BBP-type formulas".
Для чисел Эйлера наверно аналогично.
Странная задача из ТФКП
Добавлено: 22 авг 2019, 07:15
Ian
Ну хорошо, для этой простой бесконечной суммы при любом m появились формулы через числа Эйлера. А раньше никаких не было? Если да, то формулы полезны. Если нет, то вот и конечные формулы для чисел Эйлера.
Странная задача из ТФКП
Добавлено: 22 авг 2019, 16:31
zykov
Мне вот не понятно, как второе (Catalan's Constant) получить из первого (секанс).
Вообще никакой связи не вижу...
Странная задача из ТФКП
Добавлено: 22 авг 2019, 19:21
Ian
Предположу. что в условии опечатка и спрашивали сумму
[math]\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}=\frac {\pi}4\frac{\pi^2}4\frac{E_1}{2!}=\frac{\pi^3}{32}=0,968946
тогда мы решили вполне по-студенчески