Странная задача из ТФКП

Ian · Сообщение **Ian** » 21 авг 2019, 10:48

Я даю условие картинкой, чтобы показать, что это предложено студентам

: Снимок.JPG (22.42 KiB) 16962 просмотра

Как-то это все показалось похоже на
viewtopic.php?f=4&t=702&p=1767&
Но там делали и без КП.
Здесь: могу показать, что ряд сходится при всех комплексных

a, кроме целых нечетных точек, просто выделением действительной и мнимой частей. Дальше можно бы подобрать мероморфную функцию, имеющую такие же вычеты в нечетных точках, типа

f(a)=A+\frac {Ba}{\cos \frac{\pi a}2}
и по теореме Миттаг-Лефлера она представляется рядом из рациональных функций, то есть равна исходной сумме.
Но неужели студентам надо так решать? И что со вторым вопросом?

zykov · Сообщение **zykov** » 21 авг 2019, 14:07

Ian писал(а):Source of the post И что со вторым вопросом?

Если легко найти $\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{2k}{(2k+1)^2}$ , то второе получится из первого (при $a=0$

) вычитанием этой суммы.

zykov · Сообщение **zykov** » 21 авг 2019, 16:30

Вольфрам выдал, что $\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}$ это Catalan's Constant.

zykov · Сообщение **zykov** » 21 авг 2019, 16:36

Для первого вольфрам выдал $\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{2k+1}{(2k+1)^2-a^2}=\frac{\pi}{4 \cos (\pi a/2)}$ .

Ian · Сообщение **Ian** » 21 авг 2019, 17:51

zykov писал(а):Если легко найти $\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{2k}{(2k+1)^2}$

А это легко?(

Ian · Сообщение **Ian** » 21 авг 2019, 20:00

zykov писал(а):Для первого вольфрам выдал $\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{2k+1}{(2k+1)^2-a^2}=\frac{\pi}{4 \cos (\pi a/2)}$ .

И любопытно получается, если и левую и правую часть разложить в степенной ряд в нуле.
Фактически по определению чисел Эйлера, в правой части разложим секанс

\frac{\pi}{4 \cos (\pi a/2)}=\frac{\pi}{4}\sum_{m=0}^{\infty}(\pi a/2)^{2m}\frac{|E_{m}|}{(2m)!}
А в левой части разложим на прогрессии

\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{2k+1}{(2k+1)^2-a^2}=\sum_{k=0}^\infty (-1)^k \sum_{m=0}^\infty\frac{a^{2m}}{(2k+1)^{2m+1}}=

=\sum_{m=0}^\infty a^{2m} \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^{2m+1}}
Приравниваем и получаем простую формулу для чисел Эйлера

E_m, которые между прочим должны быть целые...
Тут http://oeis.org/A000364 в разделе FORMULA такой нет)

zykov · Сообщение **zykov** » 22 авг 2019, 06:57

Ian писал(а):Source of the post Приравниваем и получаем простую формулу для чисел Эйлера

Ну не такую уж простую. Всё таки бесконечная сумма.

Так например для этого Catalan's Constant там много разных формул.
Там же на вольфрам начиная с (20): "There are a large number of BBP-type formulas".

Для чисел Эйлера наверно аналогично.

Ian · Сообщение **Ian** » 22 авг 2019, 07:15

Ну хорошо, для этой простой бесконечной суммы при любом m появились формулы через числа Эйлера. А раньше никаких не было? Если да, то формулы полезны. Если нет, то вот и конечные формулы для чисел Эйлера.

zykov · Сообщение **zykov** » 22 авг 2019, 16:31

Мне вот не понятно, как второе (Catalan's Constant) получить из первого (секанс).
Вообще никакой связи не вижу...

Ian · Сообщение **Ian** » 22 авг 2019, 19:21

Предположу. что в условии опечатка и спрашивали сумму

\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}=\frac {\pi}4\frac{\pi^2}4\frac{E_1}{2!}=\frac{\pi^3}{32}=0,968946
тогда мы решили вполне по-студенчески

Портал Естественных Наук, версия 1.1