Простой с виду вопрос про L1(0,1)

Ian · Сообщение **Ian** » 20 сен 2018, 07:46

1.Найти норму в

L_1[0,1] оператора

Ax(t)=\int_0^1x(s)\cos\pi (t-s)ds.У него есть собственные значения

\frac 12 и 0, но это говорит только о том, что норма не меньше их. То что я могу тут доказать, это довольно сложно и нетрадиционно как-то. А вопрос должен быть известный.

zykov · Сообщение **zykov** » 20 сен 2018, 08:49

На вскидку - если использовать формулу косинуса суммы, то получим, что функция от

t - это линейная комбинация синуса и косинуса.
Коэффициенты при них от

t не зависят и имеют вид интеграла "

x(s) умножить на синус/косинус", т.е. они равны коэффициентам Фурье.

Ian · Сообщение **Ian** » 20 сен 2018, 13:13

zykov писал(а):На вскидку - если использовать формулу косинуса суммы, то получим, что функция от t - это линейная комбинация синуса и косинуса.
Коэффициенты при них от t не зависят и имеют вид интеграла "x(s) умножить на синус/косинус", т.е. они равны коэффициентам Фурье.

Знаю. Вся сложность дальше. Надо найти

\sup\int_0^1|\cos\pi t\left( \int_0^1x(s)\cos\pi sds\right)+\sin\pi t\left( \int_0^1x(s)\sin\pi sds\right)|dt при ограничении

\int_0^1|x(s)|ds=1

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 20 сен 2018, 17:09

Может быть, полезным будет следующий шаг: интеграл под знаком $\sup$ равен

$\frac2\pi\sqrt{\left(\int_0^1x(t)\cos\pi t\,dt\right)^2+\left(\int_0^1x(t)\sin\pi t\,dt\right)^2}?$

Ian · Сообщение **Ian** » 20 сен 2018, 18:01

peregoudov писал(а):Может быть, полезным будет следующий шаг: интеграл под знаком $\sup$ равен

$\frac2\pi\sqrt{\left(\int_0^1x(t)\cos\pi t\,dt\right)^2+\left(\int_0^1x(t)\sin\pi t\,dt\right)^2}?$

Точно, вы все идете по моим следам. А я-то надеялся что есть путь проще. Остался один шаг который меня и удивил.

zykov · Сообщение **zykov** » 20 сен 2018, 19:21

Ian писал(а):Source of the post Надо найти
$\sup \int_0^1 |\cos\pi t(\int_0^1 x(s)\cos\pi s ds)+\sin \pi t (\int_0^1 x(s)\sin \pi s ds)|dt$ при ограничении
$\int_0^1 |x(s)| ds=1$

Я бы только искал $\inf \int_0^1 |x(s)| ds$ при ограничении
$(\int_0^1 x(s)\cos\pi s ds)^2+(\int_0^1 x(s)\sin \pi s ds)^2=1$ .

Ian · Сообщение **Ian** » 20 сен 2018, 21:51

Это не доказательство, но все же.Для каждого

0<t<1 проведем на плоскости через 0 направленные прямые с полярым углом

\pi t и отложим на них

sgn x(t), если отрицательный, то в обратную сторону(на нижней полуокружности). Будем считать, что единичная масса распределена по единичной окружности с линейной плотностью

|x(t)| . Тогда нам известно, что 1-й центральный (в смысле-относительно начала координат, а не оси какой-то) момент системы равен 1, а
$\sqrt{\left(\int_0^1x(t)\cos\pi t\,dt\right)^2+\left(\int_0^1x(t)\sin\pi t\,dt\right)^2}$ - 1-й центральный момент центра тяжести этой системы Очевидно, что он максимальный, если вся масса собрана вблизи одной точки, т.е

x(t) дельтаобразна. Когда мы заменяем две элементарных массы на одну в их центре тяжести,то центр тяжести оказывается на хорде и центральный момент центра тяжести станет меньше, чем исходной системы.

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 21 сен 2018, 10:27

Почему не доказательство? Вполне себе доказательство. Только вы какие-то странные слова употребляете. "1-й центральный момент системы" --- это просто общая масса, а "1-й центральный момент центра тяжести" --- это просто расстояние от центра тяжести до начала координат. Поскольку масса распределена по окружности, центр тяжести лежит в круге, ведь центр тяжести --- это выпуклая линейная оболочка радиус-вектров отдельных масс.

Есть еще вариант --- вылезти в комплексную плоскость. Тогда
$\left(\int_0^1x(t)\cos\pi t\,dt\right)^2+\left(\int_0^1x(t)\sin\pi t\,dt\right)^2= \left|\int_0^1x(t)e^{i\pi t}\,dt\right|^2\leq\left(\int_0^1|x(t)|\,dt\right)^2.$

Ian · Сообщение **Ian** » 21 сен 2018, 13:13

В том, что касается теор. механики, я Вам готов бездумно верить. Но что-то не складывается.
Момент первый, если линейный размер входит в первой степени. А масса -нулевой момент?
Я боялся, что "центральный"- поймут как момент относительно центра тяжести, в теор. вер. так понимают: "дисперсия = второй центральный момент".А то еще бывают моменты относительно осей. Поэтому и пояснял как умею.

zykov · Сообщение **zykov** » 21 сен 2018, 13:21

Если не строго, то можно предположить что в экстремальном случае и

x(t), и

Ax(t) положительны на

[0,1].
(Интуитивно - не видно, где минус мог бы увеличить отношение норм.)

Тогда

|x(t)|=\int_0^1 x(t) \;dt и

|Ax(t)|=\int_0^1 (\int_0^1 x(s) \cos \pi (t-s) \;ds) \;dt=(2/\pi)\int_0^1 x(s) \sin \pi s \;ds.
Отсюда очевидно, что экстремальный случай - это

x(t)=\delta(t-0.5) (

x(t) сконцентрирован в максимуме синуса), норма оператора -

2/\pi.

Наверно можно и строго отсечь случай с минусом.

Ian · Сообщение **Ian** » 21 сен 2018, 15:17

Ax(t),как тригонометрическая с периодом 2, неотрицательна на единичном отрезке только в одном вырожденном случае. Но, как заметил peregoudov интеграл от ее модуля это все равно площадь полной полуволны синусоиды с амплитудой, равной корню, знак теперь не волнует, но на третьем шаге пришлось оптимизировать этот корень. Выход в комплексную плоскость -это проще по форме, чем у меня, хотя по сути то же.
$\left(\int_0^1x(t)\cos\pi tdt\right)^2+\left(\int_0^1x(t)\sin\pi tdt\right)^2=\int_0^1x(t)\cos\pi tdt\int_0^1x(u)\cos\pi u\,du+\int_0^1x(t)\sin\pi tdt\int_0^1x(u)\sin\pi udu=$
$=\int_0^1\int_0^1x(t)x(u)\cos\pi (t-u)dtdu$
и тут уже можно косинус оценивать единицей. К равенству приблизимся, если везде, где

x(t)x(u) отлично от 0,

|x-u| мал, то есть носитель

x(u) как можно более узок

peregoudov · Сообщение **peregoudov** » 21 сен 2018, 15:41

Ian писал(а):Source of the post В том, что касается теор. механики, я Вам готов бездумно верить. Но что-то не складывается.
Момент первый, если линейный размер входит в первой степени. А масса -нулевой момент?
Я боялся, что "центральный"- поймут как момент относительно центра тяжести, в теор. вер. так понимают: "дисперсия = второй центральный момент".А то еще бывают моменты относительно осей. Поэтому и пояснял как умею.

Я только имел в виду, что вы как-то странно интерпретируете зависимость от $x(t)$

. Ведь это вовсе не расстояние (все массы у вас на окружности единичного радиуса), это масса. А расстояния, точнее, координаты $\xi$ и $\eta$ в плоскости --- это как раз $\cos\pi t$ и $\sin\pi t$ . То есть $\int_0^1|x(t)|\,dt$ --- это нулевой момент, просто полная масса, у нас распределение нормированное, так что она равна единице. А вектор

$\left(\int_0^1x(t)\cos\pi t\,dt,\int_0^1x(t)\sin\pi t\,dt\right)$

--- это как раз первый момент, радиус-вектор центра масс. Про "центральные" вообще ничего говорить не надо, надо так и говорить --- длина радиус-вектора центра масс. Поскольку все массы на окружности, центр масс лежит в круге и длина радиус-вектора центра масс не может превышать единицы. Ну, а случай, когда она равна единице, вы уже и сами придумали.

Портал Естественных Наук, версия 1.1