1.Найти норму в [math] оператора
[math].У него есть собственные значения [math] и 0, но это говорит только о том, что норма не меньше их. То что я могу тут доказать, это довольно сложно и нетрадиционно как-то. А вопрос должен быть известный.
Простой с виду вопрос про L1(0,1)
Простой с виду вопрос про L1(0,1)
На вскидку - если использовать формулу косинуса суммы, то получим, что функция от [math] - это линейная комбинация синуса и косинуса.
Коэффициенты при них от [math] не зависят и имеют вид интеграла "[math] умножить на синус/косинус", т.е. они равны коэффициентам Фурье.
Коэффициенты при них от [math] не зависят и имеют вид интеграла "[math] умножить на синус/косинус", т.е. они равны коэффициентам Фурье.
Простой с виду вопрос про L1(0,1)
Знаю. Вся сложность дальше. Надо найтиzykov писал(а):На вскидку - если использовать формулу косинуса суммы, то получим, что функция от [math] - это линейная комбинация синуса и косинуса.
Коэффициенты при них от [math] не зависят и имеют вид интеграла "[math] умножить на синус/косинус", т.е. они равны коэффициентам Фурье.
[math] при ограничении
[math]
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Простой с виду вопрос про L1(0,1)
Может быть, полезным будет следующий шаг: интеграл под знаком равен
Простой с виду вопрос про L1(0,1)
Точно, вы все идете по моим следам. А я-то надеялся что есть путь проще. Остался один шаг который меня и удивил.peregoudov писал(а):Может быть, полезным будет следующий шаг: интеграл под знаком равен
Простой с виду вопрос про L1(0,1)
Это не доказательство, но все же.Для каждого [math] проведем на плоскости через 0 направленные прямые с полярым углом [math] и отложим на них [math], если отрицательный, то в обратную сторону(на нижней полуокружности). Будем считать, что единичная масса распределена по единичной окружности с линейной плотностью [math] . Тогда нам известно, что 1-й центральный (в смысле-относительно начала координат, а не оси какой-то) момент системы равен 1, а
- 1-й центральный момент центра тяжести этой системы Очевидно, что он максимальный, если вся масса собрана вблизи одной точки, т.е [math] дельтаобразна. Когда мы заменяем две элементарных массы на одну в их центре тяжести,то центр тяжести оказывается на хорде и центральный момент центра тяжести станет меньше, чем исходной системы.
- 1-й центральный момент центра тяжести этой системы Очевидно, что он максимальный, если вся масса собрана вблизи одной точки, т.е [math] дельтаобразна. Когда мы заменяем две элементарных массы на одну в их центре тяжести,то центр тяжести оказывается на хорде и центральный момент центра тяжести станет меньше, чем исходной системы.
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Простой с виду вопрос про L1(0,1)
Почему не доказательство? Вполне себе доказательство. Только вы какие-то странные слова употребляете. "1-й центральный момент системы" --- это просто общая масса, а "1-й центральный момент центра тяжести" --- это просто расстояние от центра тяжести до начала координат. Поскольку масса распределена по окружности, центр тяжести лежит в круге, ведь центр тяжести --- это выпуклая линейная оболочка радиус-вектров отдельных масс.
Есть еще вариант --- вылезти в комплексную плоскость. Тогда
Есть еще вариант --- вылезти в комплексную плоскость. Тогда
Простой с виду вопрос про L1(0,1)
В том, что касается теор. механики, я Вам готов бездумно верить. Но что-то не складывается.
Момент первый, если линейный размер входит в первой степени. А масса -нулевой момент?
Я боялся, что "центральный"- поймут как момент относительно центра тяжести, в теор. вер. так понимают: "дисперсия = второй центральный момент".А то еще бывают моменты относительно осей. Поэтому и пояснял как умею.
Момент первый, если линейный размер входит в первой степени. А масса -нулевой момент?
Я боялся, что "центральный"- поймут как момент относительно центра тяжести, в теор. вер. так понимают: "дисперсия = второй центральный момент".А то еще бывают моменты относительно осей. Поэтому и пояснял как умею.
Последний раз редактировалось Ian 21 сен 2018, 15:02, всего редактировалось 1 раз.
Простой с виду вопрос про L1(0,1)
Если не строго, то можно предположить что в экстремальном случае и [math], и [math] положительны на [math].
(Интуитивно - не видно, где минус мог бы увеличить отношение норм.)
Тогда [math] и [math].
Отсюда очевидно, что экстремальный случай - это [math] ([math] сконцентрирован в максимуме синуса), норма оператора - [math].
Наверно можно и строго отсечь случай с минусом.
(Интуитивно - не видно, где минус мог бы увеличить отношение норм.)
Тогда [math] и [math].
Отсюда очевидно, что экстремальный случай - это [math] ([math] сконцентрирован в максимуме синуса), норма оператора - [math].
Наверно можно и строго отсечь случай с минусом.
Простой с виду вопрос про L1(0,1)
[math],как тригонометрическая с периодом 2, неотрицательна на единичном отрезке только в одном вырожденном случае. Но, как заметил peregoudov интеграл от ее модуля это все равно площадь полной полуволны синусоиды с амплитудой, равной корню, знак теперь не волнует, но на третьем шаге пришлось оптимизировать этот корень. Выход в комплексную плоскость -это проще по форме, чем у меня, хотя по сути то же.
и тут уже можно косинус оценивать единицей. К равенству приблизимся, если везде, где [math] отлично от 0, [math] мал, то есть носитель [math] как можно более узок
и тут уже можно косинус оценивать единицей. К равенству приблизимся, если везде, где [math] отлично от 0, [math] мал, то есть носитель [math] как можно более узок
-
- Сообщений: 620
- Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17
Простой с виду вопрос про L1(0,1)
Я только имел в виду, что вы как-то странно интерпретируете зависимость от . Ведь это вовсе не расстояние (все массы у вас на окружности единичного радиуса), это масса. А расстояния, точнее, координаты и в плоскости --- это как раз и . То есть --- это нулевой момент, просто полная масса, у нас распределение нормированное, так что она равна единице. А векторIan писал(а):Source of the post В том, что касается теор. механики, я Вам готов бездумно верить. Но что-то не складывается.
Момент первый, если линейный размер входит в первой степени. А масса -нулевой момент?
Я боялся, что "центральный"- поймут как момент относительно центра тяжести, в теор. вер. так понимают: "дисперсия = второй центральный момент".А то еще бывают моменты относительно осей. Поэтому и пояснял как умею.
--- это как раз первый момент, радиус-вектор центра масс. Про "центральные" вообще ничего говорить не надо, надо так и говорить --- длина радиус-вектора центра масс. Поскольку все массы на окружности, центр масс лежит в круге и длина радиус-вектора центра масс не может превышать единицы. Ну, а случай, когда она равна единице, вы уже и сами придумали.
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 2 гостей