UVW forever

[Ian]

Вот эту задачу, предложенную в одном из московских вузов, я предлагаю решить, не придавая буквам p и q конкретных значений.

Снимок экрана 2017-10-07 в 22.04.02.png (42.97 KiB) 10818 просмотра

А потом я скажу, как называется теорема, которую Вы доказали (собственно, уже сказал)

[zykov]

Я так понимаю, критические точки - это экстремумы.

По вариационному исчислению для условного экстермума нужна линейная зависимость градиента цели [math]grad(x_1x_2x_3)=(x_2x_3,x_1x_3,x_1x_2) и градиентов условий [math]grad(x_1+x_2+x_3)=(1,1,1), [math]grad(x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3)=(x_2+x_3,x_1+x_3,x_1+x_2).
Т.е. детерминант матрицы должен быть нулевым.
[math]det \begin{pmatrix}
1 & 1 & 1\\
x_2x_3 & x_1x_3 & x_1x_2\\
x_2+x_3 & x_1+x_3 & x_1+x_2
\end{pmatrix}=(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)=0
Это верно, если хотя бы какие-то два из трёх равны друг другу.


[math]P(t)=(t-u_1)(t-u_2)(t-u_3)=t^3-(u_1+u_2+u_3)t^2+(u_2u_3+u_1u_3+u_1u_2)t-u_1u_2u_3=t^3-pt^2+qt-u_1u_2u_3.

[Ian]

Это верно, если хотя бы какие-то два из трёх равны друг другу.

Да, это ключевое место. Остается 2 переменные, и из ограничений находятся. Получается, что при данных ограничениях множество возможных [math]r=x_1x_2x_3, если оно не пусто, всегда ограничено с двух сторон. Эти границы устанавливает UVW-теорема, там правда по традиции обозначается [math]p=3u,q=3v^2,r=w^3 чтобы соблюсти размерность

The uvw method_copy.pdf

(130.99 KiB) Загружено 651 раз

Традиционные олимпийские задачи - доказать симметричное неравенство с тремя переменными - получили новые решения через UVW. Неравенство выражается через симметрические многочлены [math]u,v^2,w^3 и дальше два варианта: либо оно является следствием неравенств, перечисленных в UVW и тогда верно, либо не является и тогда верно не всегда)

[zykov]

Честно говоря не понял, какая польза от многочлена [math]P(t).

[Ian]

График P(t) мы можем нарисовать и до решения задачи, но с точностью до сдвига по вертикали. Чтобы эта кубическая парабола теоретически могла иметь три корня, необходимо [math]p^2>3q -дискриминант производной положительный. А если это есть, диапазон сдвигов от [math]r=locmin(t^3-pt^2+qt) до [math]r=locmax(t^3-pt^2+qt). В результате ответ верный, если нарисовали кубические параболы, касающиеся оси двумя способами, и проверять все вычисления преподавателю не надо)