Двойной интеграл

[Ian]

[math]\int_1^{\infty}\int_1^{\infty}\frac{dxdy}{x^2y^3\ln (xy)}
Решение у меня есть, но слишком сложное

[zykov]

Можно замену переменных сделать.
[math]I=\int_1^{\infty}\int_1^{\infty}\frac{dxdy}{x^2y^3\ln (xy)}=\int_0^{\infty}\int_0^{\infty}\frac{e^ve^wdvdw}{e^{2v}y^{3w}(v+w)}=\int_0^{\infty}
\int_0^{\infty}e^{-(v+2w)}\frac{dvdw}{v+w}=\int_Se^{-b}\frac{dadb}{a}
[math]v=\ln x, w=\ln y
[math]a=v+w, b=v+2w\quad ([math]w=b-a, v=a-w=2a-b)
Фигура [math]S ограничена двумя лучами. [math]v\geq 0, w\geq 0, следовательно [math]2a-b\geq 0,b-a\geq 0, следовательно [math]a\leq b \leq 2a.

[math]I=\int_0^{\infty}\frac{da}{a}\int_a^{2a}e^{-b}db=\int_0^{\infty}(e^{-a}-e^{-2a})\frac{da}{a}

Далее можно применить фокус с параметром.
[math]I(k)=\int_0^{\infty}(e^{-a}-e^{-ka})\frac{da}{a}
[math]I(1)=0, I(2)=I

[math]dI(k)/dk=\int_0^{\infty}(ae^{-ka})\frac{da}{a}=\int_0^{\infty}e^{-ka}da=(1/k)\int_0^{\infty}e^{-ka}d(ka)=1/k
Значит [math]I(2)=\int_1^2dk/k=ln(2)-ln(1)=ln(2)

Ian, у Вас так же или сложнее/проще?

[Ian]

У меня эквивалентно. Я в восторге от полного совпадения хода решения и ответа. Потратил на это 1ч30м, а Вы?

6b2.JPG (45.51 KiB) 12873 просмотра

Давали на вступительных в магистратуру простого московского вуза

[zykov]

Source of the post Потратил на это 1ч30м, а Вы?

Я не засекал. Точно меньше 2 часов (т.к. время поста 9:10), но я ещё по старому форуму читал и писал.

Так, первая часть с заменой переменных - довольно очевидно. Можно сказать "решение в лоб". Наверно минут 10, чтобы расписать на бумажке.
Когда получил одномерный интеграл, тут немного повозился. Сначала пробовал как разность интегралов, но получал 0. Потом заметил, что каждый из двух расходится (при этом изначальный сходится). Про формулу Фруллани никогда не слышал. Но вот вспомнил про трюк с дифференцированием по параметру (когда-то давно, когда увидел его в курсе дифуров на физтехе, впечатлило - вот в память и запал).
Тут уже просто пара строчек. Максимум 5 минут.

[Ian]

А я думал что тут в конце можно привлечь вычеты (должна же из 6 задач хоть одна относиться к тфкп) но не придумал как.
[url]Фруллани https://ru.wikipedia.org/wiki/Формулы_Фруллани[/url]Заметим что в предположении дифференцируемости f Вы можете доказать первую формулу Фруллани намного проще, чем в вики доказана

[peregoudov]

Ну, уж если использовать дифференцирование по параметру, имхо, есть способ намного проще. Введем



Имеем очевидное и



Теперь