Опять трое стреляются

[Ian]

Три соперника А, В и С имеют по воздушному шару и по пистолету. Игра последовательная. Из фиксированных положений они по очереди стреляют с шар любого из противников. Когда шар подбит, его хозяин выбывает. Когда остается только один шар его владелец побеждает и получает приз в 1 млн. руб. У каждого игрока есть возможность сделать два выстрела, если его шар цел. Все знают, что А – лучший стрелок и всегда поражает цель, что В поражает цель с вероятностью 0,7 и что С попадает в цель с вероятностью 0,2. С стреляет первым, В - вторым, А стреляет третьим. Если по итогу игры остается два шара, то приз делится поровну. Каково математическое ожидание выигрыша у А.
(Конкурс на самое системное решение, не запутывающее читателя решения)

[zykov]

"Системное" наверно расписать дерево - тяжеловесно, но понятно.
4 исхода для C. 3 из этих четырёх далее ветвятся для B.

Тут правда есть некоторая неопределенность в стратегии выбора шара. Например C может стрелять в шар A и в шар B, а может два раза в шар A (если первый раз промахнулся). Вторая стратегия более оптимальна (больше шансов выбить A), но в условии ничего не сказано, что стратегия должна быть оптимальной.

[Ian]

Должна быть оптимальной. и предполагается, что и дальше все будут действовать оптимально. Это называется в общем случае "равновесие Нэша, совершенное в подыграх" (СПРН). Когда С промахнулся, возникает одна подыгра. когда попал(в тот, в который стрелял) -другая. Действительно, дерево возможно, но оно несимметрично, все ветви разной длины.
В одной из версии такой задачи для С было выгодно промахнуться нарочно, пусть хорошие стрелки постреляют друг в друга а ход вернется к С и вот он, его шанс. Но здесь это запрещено условием.
И кстати порядок выстрелов СВАСВА, но кто выбыл пропускает. А не ССВВАА

[Ian]

Мою версию решения по некоторым причинам могу выложить примерно через месяц
А вот непрерывная версия такой игры мне кажется, интереснее. n пулеметчиков с пулеметами разных моделей и значит разной интенсивностью огня (калибр+скорострельность) сидят по кругу в укрытиях одинакового качества, вероятность что укрытие будет пробито и пулеметчик убит в промежуток dt, равна сумме интенсивностей направленного по нему огня, помноженной на dt. И после этого каждый пулеметчик видимо перенесет огонь на кого-то другого, а если не хочет, может и паузу в стрельбе сделать. Но каждый работает оптимально, чтобы остаться последним выжившим. Найти формулу набора вероятностей выживания от набора индивидуальных интенсивностей (которые полагаются общеизвестными) Интересная должна быть формула, с бифуркациями и прочими прелестями хаоса)
PS. Есть большие сомнения в новизне постановки, но вот есть на нее новый заголовок "Задача по мотивам ближневосточных войн"

[ARRY]

Только сейчас обратил внимание на эту задачу.
Сразу надо отметить, что если будет делёж приза, то он возможен только между В и С.

"Системное" наверно расписать дерево - тяжеловесно, но понятно.

А вот дерево мне кажется всё же не таким тяжеловесным, хотя и несимметричным. Во-первых, минимальное число выстрелов - 2 (С убивает А или В, оставшийся в живых убивает С). Максимальное число выстрелов (и подуровней дерева) - 5. Шести быть не может, тогда каждый бы стрелял дважды. Но если бы А стрелял дважды, то он первым выстрелом кого-нибудь убил бы, и этот убитый уже не смог бы стрелять вторично. Это раз.
Во-вторых, имхо, дерево можно укоротить. Вызывает у меня сомнение вот это место:

4 исхода для C. 3 из этих четырёх далее ветвятся для B.

А почему для С 4 исхода?
Обозначим через [math]XY событие, что [math]X стрелял в [math]Y и убил его, а через [math]\overline{YX} -событие, что [math]Y стрелял в [math]X и промахнулся.
Таким образом мы можем расписать все цепочки событий (или ветвей дерева) длины от 2 до 5. Я насчитал таких ветвей аж 27. Многовато. Но разве ветви, начинающиеся с событий [math]\overline{CA} и [math]\overline{CB}, нельзя объединить в одну? В ветвь, которая начинается с события [math]\overline{C} - С стрелял и промахнулся. Поясню. Ведь если С первым выстрелом промахнулся, то стрелку В для выработки оптимальной стратегии всё равно, в кого стрелял С. Ведь В вырабатывает свою стратегию не до, а после выстрела С (если, скажем С убил бы А, то для В выбора нет, а если С убил бы В, то мёртвые стратегию не вырабатывают). Для В важно только, что С промахнулся. Я прав?
И так же можно объединить ещё пару-тройку веток. А там уже дерево не кажется громоздким, и вырабатывать стратегию проще. Если скажете, что я прав, я сделаю такое усечённое дерево.
И ещё вопрос:

предполагается, что и дальше все будут действовать оптимально. Это называется в общем случае "равновесие Нэша

Ian, а чем это лучше обычного максиминного критерия?

[Dolly]

Ну и стратегия для А предельно ясна: если к моменту его очереди стрелять в живых будут все трое, он должен стрелять только в В.

Сразу надо отметить, что если будет делёж приза, то он возможен только между В и С.

Не поняла, почему А не может участвовать в делёжке?

[peregoudov]

Ну и стратегия для А предельно ясна: если к моменту его очереди стрелять в живых будут все трое, он должен стрелять только в В.

Совершенно верно. Ясна также стратегия C при первом выстреле. Если он промахнется, то все равно, в кого он стрелял. Но если он застрелит B, то однозначно проигрывает. Поэтому он будет стрелять в A. Обозначим (C|AB) ситуацию, когда стреляет C, а, помимо него, в игре A и B. Соответственно, она может разрешиться только в ситуации (B|C) и (B|AC) с вероятностями c=0.2 и 1-c соответственно.

Ситуация (B|C) нас не интересует. (Но она проста: когда остались два участника, выбора у них нет. (B|C) переходит в выигрыш B с вероятностью b=0.7 и в ситуацию (C|B) с вероятностью 1-b.)

Ситуация (B|AC) для B столь же безальтернативна, как ситуация (C|AB) для C: он будет стрелять в A, переведя ее в ситуацию (она уже встречалась выше) (C|B) с вероятностью b или в ситуацию (A|BC) с вероятностью 1-b.

Остается понять, кто с какой вероятностью выигрывает в ситуации (A|BC). Как уже было отмечено, ситуация для A безальтернативна: он стреляет в B, переводя ее в (C|A), где и выигрывает с вероятностью 1-с. Итого вероятность выигрыша A составляет [math](1-b)(1-c)^2. До смешного просто: это вероятность двойного промаха C и промаха B.

(Нетрудно также подсчитать, что дуэль (C|B) с вероятностью "c" заканчивается в пользу C, с вероятностью (1-c)b --- в пользу B, а с вероятностью (1-c)(1-b) дуэлянты делят приз. Таким образом, нетрудно вычислить вероятности всех других исходов.)

[ARRY]

Не поняла, почему А не может участвовать в делёжке?

Это элементарно, Ватсон. В дележе приза участвуют стрелки, израсходовавшие свои 2 патрона. Значит, если А участвует в дележе, значит, он выстрелил дважды, а значит рядом с ним 2 трупа, и делить приз ему не с кем. Противоречие.

[Ian]

Вот я так ответил. Действительно, дерево надо сокращать как возможно, чтобы уместилось на странице

triel.docx

(44.29 KiB) Загружено 829 раз