Графическое решение матричной игры 3х3

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 801
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Графическое решение матричной игры 3х3

Сообщение Ian » 18 июл 2016, 13:40

Для игр 2хn или mx2 студенты изучают графическое решение, для игры 3х3 -сведение к ЗЛП, решаемой симплекс-методом. Однако это не наглядно, а графическое решение тоже возможно
Пусть платежная матрица[math], вероятности выбора игроком 1 своих стратегий-строк [math]. Последнее ограничение позволяет сопоставить каждой стратегии точку в равностороннем треугольнике с высотой 1. [math]-расстояния от точки до сторон треугольника ВС, АС и АВ соответственно, называемые трилинейными координатами.Рисунок будет ниже.
Любая матричная игра имеет седловую точку в смешанных стратегиях. Если [math]-цена игры, то
[math]-то есть любая чистая стратегия 2-го игрока приведет его к проигрышу не меньше [math]. Эта система задает множество на плоскости, ограниченное тремя прямыми. С увеличением [math] множество гомотетично уменьшается, пока не превратится во множество, имеющее с исходным равносторонним треугольником только одну общую точку. Точка дает оптимальную стратегию 1-го игрока
Чтобы легче рисовать уравнения прямых, выберем прямоугольную систему координат с центром в центре треугольника, формулы перехода [math]
Пересчитаем полуплоскости ограничений в общем виде в прямоугольные координаты.
[math]
Задавая два удобных значения [math], можно найти два треугольника, их центр гомотетии и оптимальное решение.
Пример. платежная матрица
[math]
Для треугольника с [math] (желтый)
[math]
[math]
[math]
Для треугольника с [math] (оранжевый)
[math]
[math]
[math]
Если бы получались пустые множества- взяли бы [math] поменьше.
Рисуем треугольники, методом аналитической геометрии найдем центр гомотетии. Он огазался внутри голубого (основного) треугольника, поэтому является оптимальной стратегией [math]
trilin.JPG
trilin.JPG (23.1 KiB) 5583 просмотра

Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 3 гостей