Площадь гм шестиугольника

[Ian]

Каждая сторона треугольника делится прямыми на 3 равные части, площадь всего треугольника равна 1.
Чему равна площадь центрального шестиугольника:
1.[math]\frac 1{10}
2.[math]\frac {27}{182}
3.[math]\frac {34227}{458640}
4. Невозможно вычислить однозначно
5.Ни один из перечисленных ответов

S_Star.JPG (24.13 KiB) 13797 просмотра

[zykov]

Получается (1).

Вот вывод (не очень краткий, может что и покороче можно придумать):
1) Очевидно, что от углов треугольника соотношение не зависит, так что можно рассмотреть правильный треугольник.
2) Если его высота [math]h, то его площадь [math]1=\frac{1}{2}h\frac{h}{\sin 60}, т.е. [math]h^2=2\sin 60.
3) B находится на высоте [math]h, значит P на высоте [math]2h/3, значит X на высоте [math](3/4)*(2h/3)=h/2.
4) Аналогично, Q на высоте [math]h/3, T на высоте [math](3/5)*(h/3)=h/5.
5) Центр шестиугольника находится на высоте [math]h/3 (точка пересечения медиан).
6) Шестиугольник состоит из 6 треугольников с общей вершиной в центре. Угол при этой вершине 60, две стороны при этой вершине [math]h/2-h/3=h/6 и [math]h/3-h/5=2h/15.
7) Площадь шестиуголника [math]S_h=6S_t=6\frac{1}{2}(h/6) (2h/15)\sin 60=\frac{h^2}{15}\sin 60=\frac{2\sin 60}{15}\sin 60=\frac{2\sin^2 60}{15}=\frac{2(3/4)}{15}=\frac{1}{10}.

[Ian]

Спасибо. Я делал через теорему Менелая шестикратно.
Были предложены ответы, которые на разных стадиях подсчета получались у меня. Причем действия делал Excel, а умножение результата на целое число + форматирование -позволяло получить рациональные дроби, более или менее удачно)

1) Очевидно, что от углов треугольника соотношение не зависит, так что можно рассмотреть правильный треугольник.

Вот когда я в 9-м классе (из 10ти) сам для себя это придумал (преобразование любого треугольника в правильный. в духе линейного оператора с определителем 1 ) -мне сразу захотелось это применить на олимпиаде, и с меня сняли балл. Первый раз в жизни набрал не все баллы, какие давали. И с тех пор - если что придумал нестандартное (для того класса) молчи. Или написать в качестве 2-го -3-го способа

[zykov]

Да, там на палцах несложно понять, что соотношение не меняется. Любой треугольник можно привести к равнобедренному линейным сдвигом (когда сдвигаем вдоль X и величина сдвига пропорциональна координате Y), потом к правильному линейным растяжением.
Оба преобразования переводят прямые в прямые и их точки пересечения в такие же точки пересечения. И разбиение на три сохраняют.
И первое, и второе преобразования меняют площади, но на один и тот же коэффициент (очевидно, если площадь считать в виде двойного интеграла). Для сдвига коэффициент 1, для растяжения - коэффициент растяжения. Так что соотношение площадей не изменится.

Можно это и строго расписать, но будет более объёмно (особенно, если без интегралов).

[Ian]

Тогда я свой способ объясню.
Менелай утверждает,что если прямая пересекает стороны треугольника, то пропорции, в которых прямая делит стороны (или их продолжения), подчинены простому соотношению. Последовательно применяем его к:
1)Треугольнику ABK и прямой CM;
2)Треугольнику ABK и прямой CN;
3)Треугольнику BKL и прямой CM;
4)Треугольнику BKL и прямой CN;
5)Треугольнику ,отсекаемому от BKLпрямой CM, и прямой AP;
6)Треугольнику ,отсекаемому от BKL прямой CN, и прямой AQ
Так как дополнительными построениями проведено именно 6 определяемых треугольником прямых, то и прямизну каждой надо было использовать хотя бы раз, поэтому меньше 6-ти раз теорему Менелая применять недостаточно
Ну и написал подпрограммку в Excel, которая эту теорему применяет для нахождения очередного отношения отрезков, но пока ее отлаживал, всякие ответы выходили.

[zykov]

Да, теорема Менелая тут наиболее последовательный выбор, т.к. имеем дело с аффинной геометрией.
Только там одно выражение включает три соотношения, а нужно несколько, так что громоздко получается.

пока ее отлаживал, всякие ответы выходили.

Ужас!
Я свой метод в голове проделал (даже без бумажки).