2500 королей

[Ian]

Более слабые оценки уже получены в сети.Та, которую я видел доказанной- больше на 9 порядков, чем требуемая. Есть и своя, пока придержу.

[ARRY]

Что-то у меня совсем дикая оценка получилась. [math]\displaystyle 12^{1250}.
Хотя использовал 2 разных подхода. Но, думаю, и приводить не стоит.

[Ian]

Я предложу сравнивать натуральные логарифмы получаемых оценок, для единообразия
Требуемая [math]100\ln 51\sim 393
Вот здесь (и у Вас?) http://srb.imomath.com/zadaci/2013_mnog ... enja_r.pdf [math]1250\ln 12\sim 3106
У меня есть оценка с Ln=984,76

[Ian]

Бог ты мой ну как же было просто.

Разобьем доску на 2500 клеток 2х2. В каждой клетке может стоять не более одного короля, тогда в каждой -ровно по королю

Для каждой горизонтальной из 50 новых клеток запишем место, где расположение короля в левой половине клеток сменяется правым (оно ровно одно, так как иначи 2 короля рядом).Таких мест 51, считая начало и конец полосы. Таких полос 50. Также для каждой вертикальной полосы запишем место, где расположение короля внизу клетки сменяется расположением вверху клетки, таких мест тоже 51, таких полос тоже 50. Задав эти 100 мест , мы однозначно определяем про каждую клетку, где в ней король.

[ARRY]

Вот здесь (и у Вас?) http://srb.imomath.com/zadaci/2013_mnog ... enja_r.pdf [math]1250\ln 12\sim 3106

Удалось немного улучшить эту оценку. Ian, по этой Вашей ссылке склеиваются две соседние БК ( это я так назвал большие клетки [math]2\times 2) в виде домино.
Я же склеил [math]4 БК в одну квадратную СБК (супербольшая клетка [math]4\times 4). Таких клеток [math]625. Аналогично рассуждая, получил число комбинаций [math]\displaystyle \frac{(C_{16}^4)^{625}}{4^{1250}}\approx 9,3\cdot 10^{1284}.
Ваша логарифмическая оценка этого числа [math]\approx 2958, чуть поменьше, но всё равно не то.

Бог ты мой ну как же было просто.
Задав эти 100 мест , мы однозначно определяем про каждую клетку, где в ней король.

Здорово! Немного поразмышлял, да, действительно просто.
Только смущает одно но...В эти самые [math]51^{100} вошли смежные соседства королей по диагонали. Ведь это у Вас не учтено. Сдаётся мне, что полученную оценку можно ещё уменьшить (и, полагаю, намного). Надо только сообразить как. Буду думать.

[ARRY]

А потом я правильно понимаю, что здесь речь не идёт о симметричных отражениях и поворотах доски? Т.е. каждая клетка занумерована, и поэтому каждая расстановка уникальна. Так?

[Ian]

Да, ориентация доски фиксирована, и 2 расстановки, что в 1й некоторая клетка занята, а во 2й она свободна -уже разные