Чебышевский альтернанс

[Ian]

Требуется приблизить на отрезке [math][0,6\pi] функцию [math]f(x)=x\sin x многочленом наименьшей степени, чтобы максимум модуля отклонения по этому отрезку не превышал 1
Есть наработка, с устранимой ошибкой. Задача должна по идее решаться с помощью альтернанса, но как-то грубо с ним выходит

4_3.JPG (41.17 KiB) 15758 просмотра

[peregoudov]

Я вот прочитал про альтернанс и не понял, чем он поможет в решении этой задачи. Кроме того, намек на нижнюю границу степени многочлена можно получить, на мой взгляд, и другими рассуждениями, если нарисовать графики f(x)+1 и f(x)-1, между которыми должен лежать многочлен: сразу видно, что он имеет по меньшей мере пять корней и, скорее всего, шестой (на правой границе интервала).

Кстати, значение нижней границы в первом максимуме (около x=2) меньше единицы, значения верхней границы в нуле, так что первого максимума у многочлена может и не быть.

Но для фактического вычисления многочлена (то есть определения его коэффциентов) нужно, насколько я понял, решить систему 2(n+2) уравнений

[math]f(x_k)-p(x_k)=(-1)^kL,\quad f'(x_k)-p'(x_k)=0

относительно точек x (n+2 штук), коэффициентов многочлена (n+1 штук) и нормы аппроксимации L. А это жопа полная.

[Ian]

Спасибо Вам за очередной компетентный ответ

Кстати, значение нижней границы в первом максимуме (около x=2) меньше единицы, значения верхней границы в нуле, так что первого максимума у многочлена может и не быть.

Именно это в посте 1 называлось устранимой ошибкой, заметил, когда постил. Пусть этот многочлен имеет степень 6, 3 достоверно установленных минимума и 2 максимума. Тогда на отрезке [math](-\infty ,5]он монотонно убывающий (по расположению барьеров это возможно), но обязан сменить направление выпуклости (опять из расположения барьеров), то есть будет корень 2-й производной. Но все 4 корня 2-й производной должны расположиться между корнями первой, которые у нас уже локализованы. противоречие.
Барьеры лучше чем труба вокруг графика. потому что строже. Доказываем, что приближающий многочлен Р таков, что [math]P(\frac{\pi}2)\geq f(\frac{\pi}2)-1=\frac{\pi}2-1\sim 0,57 и нас уже не волнует, что в этом аргументе не точно максимум а близко к нему. Задача давалась на контрольной в среднем московском вузе, на 7 задач давали час

[peregoudov]

Ian, я вас в очередной раз не понимаю...

Спасибо Вам за очередной компетентный ответ

Это издевательство такое?

Задача давалась на контрольной в среднем московском вузе, на 7 задач давали час

Так я не понял: задача-то в чем? Если

приблизить на отрезке [0,6π] функцию f(x)=xsinx многочленом наименьшей степени, чтобы максимум модуля отклонения по этому отрезку не превышал 1

то есть вычислить коэффициенты многочлена, то это задача не для контрольной и не на 1/7 часа (и даже не на 7 часов, если в прежние времена). Если определить просто степень, то где доказательство, что седьмой степенью можно приблизить с заявленной точностью? Если доказать, что многочлена шестой степени явно недостаточно, тогда --- да, доказали.

У меня Maple с системой уравнений, кстати, не справился...

[Ian]

Если доказать, что многочлена шестой степени явно недостаточно, тогда --- да, доказали.

Ну в общем это и задавалось, причем почему-то для 4й степени, спасибо

[peregoudov]

Ну, тогда, я думаю, про альтернанс не подразумевалось: пять корней видны просто из "трубы вокруг графика".

Интересно все-таки было бы добить: построить аппроксимирующий многочлен в явном виде.

[Ian]

Я пробовал три волны синуса приблизить многочленом 6й степени а потом и то и другое умножить на х. Но точности единица не вышло