Изображение тхангенса

[Ian]

Надо найти преобразование Лапласа от th t
Когда я увидел что здесь http://eqworld.ipmnet.ru/ru/auxiliary/aux-inttrans.htm в таблице его нет, вообще руки опустились
Вот еще попытка. Тхангенс удовлетворяет диф.уравнению
[math]y'=1-y^2
Тогда в изображениях
[math]\frac 1p-pF=F*F(свертка), подобрать решение такого функционального уравнения

[ARRY]

Ian, я тут у себя в шкафу откопал старую книгу Бейтмен, Эрдейи "Таблицы интегральных преобразований" Том 1, 1969 г. Это советский перевод с американского издания 1954 г. Если найдёте в сети, смотрите главу 4.9 Гиперболические функции, стр. 149. Если не найдёте, то вот, привожу эту строчку:
[math]\displaystyle g(p)=\int \limits _0^{\infty}e^{-pt}\operatorname{th}t dt=2^{-1}\psi \left (\frac{p}{4}+\frac{1}{2}\right )-2^{-1}\psi \left (\frac{p}{4}\right )-p^{-1}, [math]\operatorname{Re}p>0

[Ian]

Спасибо. Раз выразилась через это, значит не выражается в элементарных
[math]\psi-это, помнится, производная гамма-функции? А в книге как определяется?

[ARRY]

Раз выразилась через это, значит не выражается в элементарных

Да, наверное, в элементарных не выразить.

[math]\psi-это, помнится, производная гамма-функции? А в книге как определяется?

Определяется как логарифмическая производная гамма-функции: [math]\psi (x)=(\ln{ \Gamma (x)})'.
В англоязычных журналах я встречал иногда её название Digamma function.

[Ian]

Спасибо!
А что тогда делать с уравнением [math]y"-y=\tanh t, которое встретилось в задачнике среди многих других. Задано операторным методом. ну хоть каким бы(

ZR4vBdg2ZYc.jpg (40.63 KiB) 19143 просмотра

[ARRY]

Спасибо!
А что тогда делать с уравнением [math]y"-y=\tanh t

Я тут попробовал его решить вариацией постоянных (для общего решения) и получил вот такое:
[math]\displaystyle y=\int \limits_{x_0}^{x}\operatorname{th} t\operatorname{sh} (x-t) dt+C_1\operatorname{ch} x+ C_2\operatorname{sh} x.
Первый член этой суммы, понятно, частное решение неоднородного. А вот что с ним делать?... Надо подумать.

[Ian]

[math]\displaystyle y=\int \limits_{x_0}^{x}\operatorname{th} t\operatorname{sh} (x-t) dt+C_1\operatorname{ch} x+ C_2\operatorname{sh} x.
Первый член этой суммы, понятно, частное решение неоднородного. А вот что с ним делать?... Надо подумать.

Берется. С учетом начальнух условий на фотке [math]x_0=0,C_1=C_2=0
[math]y=\int \limits_{0}^{x}\operatorname{th} t\operatorname{sh} (x-t) dt=\int \limits_{0}^{x}\operatorname{th} t(\operatorname{sh} x\operatorname{ch} t -\operatorname{ch} x\operatorname{sh} t)dt=
[math]=\operatorname{sh} x\int \limits_{0}^{x}\operatorname{sh} tdt-\operatorname{ch} x\int \limits_{0}^{x}\frac{\operatorname{sh}^2 t}{1+\operatorname{sh}^2 t}d(\operatorname{sh} t)=
[math]=\operatorname{ch} x\operatorname{arctg}(\operatorname{sh} x)-\operatorname{sh} x

[ARRY]

[math]\displaystyle \operatorname{sh} x\int \limits_{0}^{x}\operatorname{sh} tdt-\operatorname{ch} x\int \limits_{0}^{x}\frac{\operatorname{sh}^2 t}{1+\operatorname{sh}^2 t}d(\operatorname{sh} t)
=\operatorname{ch} x\operatorname{arctg}(\operatorname{sh} x)-\operatorname{sh} x

Только сейчас до меня всё-таки дошло, откуда это последнее равенство. Да, интересно, значит берётся в элементарных!

[Ian]

Изображение функции th t не является элементарной. но оригинал от этого изображения, деленного на [math]p^2-1- элементарная функция