Образ компактного оператора

[Dolly]

Здраствуйте. Пустовато на вашем форуме, ну да ладно, форум новый, всё равно спрошу.
В универе начали функциональный анализ. В первом задании один вопрос затруднил меня.
Образ компактного оператора - он сепарабельный или нет?
Не могу сообразить. Может, есть тут специалисты? Заранее спасибо.

[Ian]

У компактного оператора образ любого ограниченного множества компакт. А компакт -сепарабельный (на то есть куча причин, не знаю, какую вы проходили)
Что мы получили? У всякого шара радиуса N-целое есть счетное всюду плотное множество в его образе. Объединение этих множеств тоже счетно, и оно всюду плотно в образе всего оператора. Значит, образ сепарабельный

[Dolly]

Ian, спасибо. Всё поняла, только маленькое уточнение, ну, чтобы в голове всё правильно уложилось.
На лекции и в учебнике компактный оператор определялся как отображающий любое ограниченное множество пространства A в предкомпактное множество пространства B. Из Вашего объяснения получается, что любое предкомпактное множество сепарабельно. Я правильно поняла?
И попутно ещё один вопрос по этой теме. В учебнике читаю:

Obviously, discrete topological space is separable if and only if it's no more than countable.

На всякий случай переведу: "Очевидно, что дискретное топологическое пространство сепарабельно тогда и только тогда, когда оно не более чем счётно".
А почему это очевидно? Мне кажется, что это ещё нуждается в доказательстве. Особенно достаточное условие совсем не очевидно (для меня, конечно). Или я чего-то не вижу?

[Ian]

Да, компактный оператор отображает замкнутый шар в компактное, а открытый шар в предкомпактное множество, естественно. Это я смешал два определения компактного оператора, и вышло неверно: 1)образ замкнутого шара компакт и 2) образ любого ограниченного предкомпакт
Конечно, предкомпакт сепарабелен, так как его замыкание его содержит и является компактом. И кстати то, что подмножество сепарабельного сепарабельно -это не очевидность а лемма -понимаете почему.
А то что дискретное несчетное метрическое несепарабельно -это потому что расстояние между любыми двумя точками по определению равно 1. И если бы было счетное всюду плотное, то в 1/2 окрестности любой точки была бы она сама. значит каждая точка пространства принадлежит этому счетному всюду плотному множеству - противоречие.
А как определяется дискретное топологическое? Что каждая точка имеет окрестность, содержащую только ее? Тогда доказательство несепарабельности точно такое же.

[Dolly]

Ian, спасибо, ну прям разжевали.

И кстати то, что подмножество сепарабельного сепарабельно -это не очевидность а лемма -понимаете почему.

Да, это я понимаю и даже смогла доказать - по определению счётного всюду плотного подмножества. Правда, доказать смогла только для открытого подмножества. А эта лемма верна для любого подмножества?
А кстати, почему Вы называете это леммой, а не теоремой? Или она используется ещё где-нибудь?

[Ian]

И кстати то, что подмножество сепарабельного сепарабельно -это не очевидность а лемма -понимаете почему.

Да, это я понимаю и даже смогла доказать - по определению счётного всюду плотного подмножества. Правда, доказать смогла только для открытого подмножества. А эта лемма верна для любого подмножества?

Для любого подмножества, но не уверен, что любого пространства. Лемму могу доказать, если это все происходит в метрическом пространстве. Или, наоборот, в линейном топологическом. А в произвольном топологическом и не знаю, верно ли

[Dolly]

Лемму могу доказать

Ian, если Вам не в лом и доказательство не очень длинное, можете его здесь прспасибо.Или дать ссылку? Очень интересно. Заранее спасибо.

[Ian]

Пусть (Х,d) -сепарабельное метрическое пространство,[math]A=\{a_n\} -всюду плотное множество в нем и Y -подмножество Х. Обозначим числа [math]d_n=d(a_n,Y)=\inf_yd(a_n,y) -расстояния от точек A до множества Y. По определению нижней грани для всяких n,k существуют [math]y_{nk}\subset Y:d(y_{nk},a_n)<d_n+\frac 1k. Введем счетное подмножество [math]B\subset Y, состоящее из всех [math]y_{nk}. Покажем, что В всюду плотно в Y. Для произвольной [math]y\in Y существует [math]\{a_{n_j}\}:d(a_{n_j},y)<\frac 1j, тогда и [math]d_{n_j}<\frac 1j Возьмем как бы диагональную последовательность [math]\{y_{n_jj}\} и докажем. что она стремится к у. [math]d(y_{n_jj},y)<d(a_{n_j},y)+d(a_{n_j},y_{n_jj})<\frac 1j+d_{n_j}+\frac 1j<\frac 3j , чтд