Дифур убегания
Добавлено: 06 дек 2023, 21:49
Мальчик может бегать по круглой арене радиуса 1 с максимальной скоростью 1 по закону
[math]
За мальчиком гоняется лев, обладаюший той же максимальной скоростью , пусть закон его движения
[math]
Поимка- означает совпадение X=Y в конечный момент времени
А.С. Безикович в 60-х годах доказал, что мальчик может оставаться непойманным бесконечно долго. Для этого ему надо 1) точкой старта выбрать точку не на краю (отбежать) 2)в каждый момент свою скорость использовать по максимуму 3) и направлять ее перпендикулярно направлению на льва, 4) а из двух направлений выбирать то которое меньше удаляется от центра арены Это решение (в виде ломаной со стремящимися к нулю звеньями, сумма длин которых бесконечна) пересказали: Литлвуд, Математическая смесь, 1970; М.Л.Гервер, Квант,1973,№3, К.Трошин, какой-то мелкий не помню журнал, наше время.
Опишем такую стратегию мальчика дифуравнением.
[math]
а знак [math] выбирается из условия неположительности скалярного произведения [math] (если 0, то картинка симметрична и направление произвольно)
Уравнение гарантирует что [math]. Изменим масштаб времени [math] , чтобы уравнение стало линейным (штрих далее означает производную по тау). При этом, так как [math] , то из бесконечной продолжаемости решения по псевдовремени [math] следует его бесконечная продолжаемость по времени t. Но не наоборот
[math]
Стало похоже на линейную задачу оптимального управления, где для каких-то конкретных начальных положений управление Y таково, что стремится минимизировать момент T в который станет X=Y
Решение в общем виде получилось такое. что
[math]
,где
[math]
с поправкой, что берется Y такая, что выбор [math] в исходном уравнении постоянный. Но что это значит? поймает или нет?
[math]
За мальчиком гоняется лев, обладаюший той же максимальной скоростью , пусть закон его движения
[math]
Поимка- означает совпадение X=Y в конечный момент времени
А.С. Безикович в 60-х годах доказал, что мальчик может оставаться непойманным бесконечно долго. Для этого ему надо 1) точкой старта выбрать точку не на краю (отбежать) 2)в каждый момент свою скорость использовать по максимуму 3) и направлять ее перпендикулярно направлению на льва, 4) а из двух направлений выбирать то которое меньше удаляется от центра арены Это решение (в виде ломаной со стремящимися к нулю звеньями, сумма длин которых бесконечна) пересказали: Литлвуд, Математическая смесь, 1970; М.Л.Гервер, Квант,1973,№3, К.Трошин, какой-то мелкий не помню журнал, наше время.
Опишем такую стратегию мальчика дифуравнением.
[math]
а знак [math] выбирается из условия неположительности скалярного произведения [math] (если 0, то картинка симметрична и направление произвольно)
Уравнение гарантирует что [math]. Изменим масштаб времени [math] , чтобы уравнение стало линейным (штрих далее означает производную по тау). При этом, так как [math] , то из бесконечной продолжаемости решения по псевдовремени [math] следует его бесконечная продолжаемость по времени t. Но не наоборот
[math]
Стало похоже на линейную задачу оптимального управления, где для каких-то конкретных начальных положений управление Y таково, что стремится минимизировать момент T в который станет X=Y
Решение в общем виде получилось такое. что
[math]
,где
[math]
с поправкой, что берется Y такая, что выбор [math] в исходном уравнении постоянный. Но что это значит? поймает или нет?