На раннем этапе своего научного творчества Пуанкаре весьма доброжелательно встретил канторовскую теорию множеств. Будучи молодым преподавателем Сорбонны, он участвовал в переводе на французский язык основополагающих работ Кантора и даже применял отдельные положения его теории в своих исследованиях по автоморфным функциям, по общей теории аналитических функций. Но в начале XX века Пуанкаре становится ярым противником теории множеств. Это сказалось на общем отношении к ней в среде математиков. Даже много лет спустя, в 1927 году, Д. Гильберт сетовал на то отрицательное влияние, которое оказали взгляды знаменитого французского ученого на научный престиж теории множеств: «К сожалению, Пуанкаре, самый плодовитый и богатый идеями среди математиков своего поколения, имел определенное предубеждение к теории Кантора, не позволившее составить справедливое мнение о великолепных понятиях, введенных Кантором»[119]. Но «предубеждение» Пуанкаре имело под собой довольно веское основание.
Как и многие другие математики, высшим критерием полноценности математической теории Пуанкаре считал ее непротиворечивость. Но как раз на рубеже двух веков в теории множеств выявились вопиющие противоречия, к которым приводят совершенно правильные в логическом отношении рассуждения. Именно эти неразрешимые парадоксы оттолкнули Пуанкаре от этой теории. Он отказывал ей в праве на существование, поскольку отдельные ее положения противоречили друг другу. Впрочем, Пуанкаре был не одинок в своем категорическом подходе к этому вопросу. Не мало было в те годы предложений избавить математику от разрушительных катастроф, вызванных парадоксами теории множеств, отказавшись от самой теории.
Пуанкаре выступал против трансфинитных чисел, введенных Кантором, против аксиоматики Цермело, против теории типов Рассела, критиковал непредикативные определения в математике. Аксиома Цермело, выдвинутая автором в 1904 году, привлекла особое внимание математиков. Ей посвящались и посвящаются многие сотни работ, включая целые книги. И это не случайно. Поскольку эта аксиома выбора связана с более фундаментальными положениями математики, чем аксиома параллельности в геометрии, то непринятие ее привело бы к гораздо более глубокой перестройке традиционных представлений.
Последствия такого потрясения могли затронуть не только математику, но и вообще наши научные взгляды. Подчеркивая важность этой аксиомы и распространенность ее в математических рассуждениях, Пуанкаре выражает мнение о безнадежности попыток Рассела доказать аксиому выбора. По его мнению, она представляет собой априорное синтетическое суждение.
Пуанкаре явился инициатором современной постановки проблемы непредикативности. В качестве непредикативных определений он рассматривает определения, построенные по принципу порочного круга, когда рассуждение, приводящее к требуемому результату, само опирается на то, что с его помощью нужно определить. Наиболее полно свои взгляды на непредикативные определения Пуанкаре развил в статье «Логика бесконечного», вошедшей в книгу «Последние мысли». Скрытым источником непредикативности и всех противоречий в теории множеств Пуанкаре считает основное понятие этой теории — актуальную бесконечность. Ее необходимо исключить из математического обихода. Только в устранении непредикативных определений видит он возможность выхода из парадоксов теории множеств.
Первый такой парадокс обнаружил в 1897 году итальянский математик Бурали-Форти. Хотя Бурали-Форти не сумел преодолеть обнаруженного им противоречия, дело еще не представлялось слишком серьезным. Казалось, что небольшой пересмотр доказательств теорем мог бы спасти положение. Не поколебала этой уверенности и еще одна антиномия, обнаруженная Кантором в 1899 году. Эти парадоксы как будто бы не затрагивали самой сути теории множеств и имели вид лишь досадных случайностей на фоне всеобщего признания учения Кантора.
Как раз в это время теория множеств «входит в моду» и ее методы все шире и шире применяются в различных областях математики. Триумфом новой теории стало ее признание на I Международном конгрессе математиков в Цюрихе (1897). В обстановке такого успеха парадокс Бурали-Форти выглядел как нелепая случайность. Однако вскоре по теории множеств был нанесен тяжелейший удар открытием парадокса Рассела. От этого парадокса уже нельзя было так просто отмахнуться, поскольку он был обнаружен не где-то в хитросплетениях абстрактных построений, а вытекал прямо из определения множества, данного Кантором. Не приходится удивляться той бурной реакции ученых, которую вызвало сообщение о парадоксе Рассела.
После открытия парадокса Рассела новые антиномии посыпались как из рога изобилия: парадокс Ришара (1905), парадокс Греллинга (1908) и другие. Оказалось даже, что в теории множеств имеет место парадокс «лжеца», известный еще древним грекам. Все это подорвало доверие к теории множеств среди ученых.
Если бы речь шла о парадоксах, затрагивающих какой-нибудь частный раздел математики, то можно было бы «отсечь» этот загнивший росток от «здорового» математического древа. Но с теорией множеств так нельзя было поступить, по тому что она стала основанием практически всей математики. Ее понятия и методы широко использовались в самых различных областях математики, многие из разделов которой перестраивались на теоретико-множественной основе. Теория множеств превратилась в своего рода фундамент математики. Обнаружение парадоксов показало, что фундамент самого этого фундамента является весьма непрочным. Академик А. Д. Александров так характеризует создавшуюся тогда ситуацию: «Теоретико-множественная установка оказалась подорванной, и вместе с нею оказалось подорванным все стройное здание математики. В верхних его этажах шло энергичное строительство: кирпичики теорем, соединяемые цементом логики, укладывались в рамки уже определившихся разделов и воздвигались каркасы новых теорий, но в теоретико-множественном фундаменте обнаружились расширяющиеся трещины парадоксов и под ними зыбучие пески и топи логических трудностей»[120].
Самые основы математики и логики оказались пораженными неразрешимыми противоречиями. Произошло крушение, казалось бы, незыблемых понятий и представлений. Налицо был кризис оснований математики. И даже не сами парадоксы говорят об этом кризисе. Гораздо более убедительно о кризисе свидетельствует тот факт, что попытки преодолеть антиномии выявили далеко идущие и неожиданные расхождения мнений по поводу самых основных математических понятий.
Этот кризис резко обострил борьбу между такими течениями как логицизм, интуиционизм и формализм. Выступления Пуанкаре против логицизма и допустимости актуальной бесконечности, разработка им учения о математической интуиции были одним из источников возникновения интуиционизма как одного из направлений в обосновании математики. Для сторонников интуиционизма характерно отвержение абстракции актуальной бесконечности и «чистых» теорем существования, а также неприятие неограниченного применения закона исключенного третьего. Интуиционисты рассматривают математические объекты как конструктивные. Большое внимание уделяется анализу роли интуиции в математическом познании.
https://flibusta.club/b/601191/read