Математика без актуальной бесконечности.

talash · Сообщение **talash** » 22 сен 2023, 19:27

Vladimir Pliassov писал(а):
talash писал(а):Можно определить число \pi_{15}, как такое же как \pi только первые цифры после запятой не 14, а 15. И так далее.
Это я не понял, не могли бы Вы объяснить подробнее?

Конструируем новое вещественное число на базе пи, заменяя одну цифру. Можно заменить две, три и т.п. Количество вариантов неограничено. И это будут всё новые и новые трансцедентные числа.

talash · Сообщение **talash** » 22 сен 2023, 22:21

talash писал(а):Как мне теперь кажется, абсолютная бесконечность это уже последствия, а первичная проблема теории множеств это нестрогость определений. Хочу оформить к чему в итоге пришёл. Пока предварительная версия(не полная). Нужно ещё подумать и обосновать почему для строгости задания элементов множества должны быть указаны все возможные алгоритмы их получения.
...
Для действительных чисел эта схема не работает. Потому что, исходя из их описания(аксиоматики действительных чисел), невозможно задать все алгоритмы их получения и таким образом строго определить элементы множества. А раз элементы строго не определены, то значит и множества действительных чисел не существует. Нестрогое определение элементов и дальнейшие манипуляции с ними это уже получается философия, а не математика.

И всё-таки яйцо было раньше курицы! Здесь все элементы множества действительных чисел на отрезке [0,1] ловко определяются с помощью одного алгоритма, но при этом используется актуальная бесконечность.

Остальные числа (т. е. иррациональные и те рациональные, которые разлагаются в периодическую дробь с периодом, не равным 9) имеют единственную запись.

Вот как это понимать? Это же самое начало теории множеств и тут раз, а давайте-ка выполним невыполнимую операцию, запишем иррациональное число в виде десятичной дроби.

talash · Сообщение **talash** » 23 сен 2023, 16:33

Vladimir Pliassov, если поняли про индукцию, объясните пожалуйста, а то я не понял, а тоже интересно. Я про сообщение:

Vladimir Pliassov в сообщении #1610918 писал(а):
mihaild в сообщении #1610916 писал(а):Речь не об утверждении, которое доказывается, а о самом переходе, так называемом шаге индукции. Т.е. нужно, чтобы откуда-то следовало утверждение "если , то ".

Кажется, понял. Спасибо!

talash · Сообщение **talash** » 23 сен 2023, 16:42

Я чувствую, что прав, но мне не нравится форма претензий к "теории множеств", как будто это просто моё мнение.

talash писал(а):В моём понимании математика это любые строго определённые и непротиворечивые конструкции. Поскольку таких конструкций может быть неограниченное количество, то нужно выбирать наиболее стройные из них. Конечный критерий отбора это практическая польза.

А нужно быть точным, как математику. Претензия должна идти не из моего понимания математики, а следовать из определения.

Поэтому, копнём в самую глубь, к определению математики.

Матема́тика (др.-греч. μᾰθημᾰτικά[1] < μάθημα «изучение; наука») — точная формальная наука.
Точные науки (англ. Exact sciences) — отрасли науки, в которых изучают количественно точные закономерности и используются строгие методы проверки гипотез, основанные на воспроизводимых экспериментах и строгих логических рассуждениях.

Тут бы ещё определить, что такое "строгие методы проверки гипотез" и "строгие логические рассуждения" :?:

К ответу на первый вопрос наверное можно прийти из примера. Вот как-то же до Коши находили пределы непрерывных конструкций(бесконечные последовательности, ряды, дроби и т.п.) и при этом понимали, что не хватает строгости? Почему не хватает? Наверное как раз потому что невозможно производить бесконечные операции. Их проводили частично, подмечали куда сходится непрерывная конструкция и получали ответ.

talash · Сообщение **talash** » 25 сен 2023, 10:35

Вот так лучше.

Теория множеств. Где кончается математика и начинается философия.

Матема́тика (др.-греч. μᾰθημᾰτικά[1] < μάθημα «изучение; наука») — точная формальная наука.
Точные науки (англ. Exact sciences) — отрасли науки, в которых изучают количественно точные закономерности и используются строгие методы проверки гипотез, основанные на воспроизводимых экспериментах и строгих логических рассуждениях.

Понятие "множество" это фундаментальное понятие в теории, которое означает совокупность(синоним слова множество) многих объектов. "Объект" это тоже фундаментальное понятие, которое означает нечто(синоним слова объект) в единственном числе. Но если мы говорим про конкретную совокупность объектов, то она должна быть определена.

Если мы говорим "множество всех натуральных чисел", то должно быть определение элементов, про которые говорим. Первый элемент множества будет 1, второй 2, третий 3 и так далее, n-й элемент будет n. При этом, какой бы большой n мы не выбрали, всегда будет существовать (n+1)-ый элемент, отличный от n. Таким образом мы определяем элементы множества. При этом мы считаем фундаментальными понятиями, пришедшими к нам из опыта: понятия "первый", "второй", "третий" и т.д., числа 1,2,3 и т.д. сколько захотим, замена числа на букву n, что означает возможность подстановки произвольного числа, операцию сложения (n+1) и т.п. То есть, если у нас где-то здесь потребуют определение, то мы сошлёмся на опыт и фундаментальность понятия. Важно. При определении элементов мы не использовали бесконечных операций. Мы определили, что при любом произвольном n, существует n+1 элемент. Мы не можем выписать это множество или выполнить любые другие бесконечные операции, потому что этого нет в нашем опыте и значит здесь нельзя сослаться на фундаментальность понятия.

Если мы говорим "множество всех целых чисел", то тоже должны их определить. И определяем мы их через натуральные числа. Это несложно сделать. Множество целых чисел определяется как замыкание множества натуральных чисел относительно арифметических операций сложения и вычитания. Таким образом, сумма, разность и произведение двух целых чисел есть снова целые числа. Если мы говорим "множество всех рациональных чисел", то аналогично точно определяем элементы через целые числа, алгоритм "змейка".

А вот если мы говорим "множество всех действительных чисел", то где точное определение элементов этого множества? Его нет. А значит, вся эта философия про несчётные множества представляет из себя оперирование неопределёнными сущностями и не может считаться математикой, поскольку математика по определению точная наука.

Важный момент. Определение действительного числа математически точное. Но из этого определения нельзя получить алгоритм получения всех действительных чисел. Следовательно, невозможно определить элементы множества всех действительных чисел, а значит такого множества с точки зрения математики не существует.

talash · Сообщение **talash** » 26 сен 2023, 00:43

Попробуем теперь потестировать полученные выводы на AI. Чат Bing AI, вроде там GPT-4.

Вопрос:
Множество всех иррациональных чисел состоит из элементов. Эти элементы должны быть точно определены, например, в виде формулы или алгоритма. Это следует из того, что математика точная наука. Чему равен первый элемент этого множества? Или может быть обсуждаемая тема не относится к математике?

Ответ:
Множество всех иррациональных чисел не состоит из элементов, которые можно точно определить в виде формулы или алгоритма. Это следует из того, что иррациональные числа не могут быть записаны в виде дроби с целыми числами, а значит, не могут быть выражены через конечное число операций. Иррациональные числа - это числа, которые имеют бесконечное количество цифр после запятой и не имеют повторяющегося периода. Такие числа можно приблизить с любой точностью, но нельзя записать полностью. Например, число π (пи) или √2 (корень из двух) являются иррациональными числами, которые можно приблизить до любого знака после запятой, но нельзя записать в виде дроби.

Поэтому, нельзя говорить о первом элементе множества всех иррациональных чисел, потому что это множество не упорядочено. Нет такого способа, чтобы сравнить иррациональные числа между собой и сказать, какое из них больше или меньше. Каждое иррациональное число уникально и не повторяется в этом множестве. Множество всех иррациональных чисел - это бесконечное множество, которое содержит все возможные комбинации бесконечных десятичных дробей.

Обсуждаемая тема относится к математике, потому что математика изучает различные виды чисел и их свойства. Иррациональные числа - это один из видов чисел, которые встречаются в математике и имеют свои особенности. Математика - это точная наука, но это не значит, что все ее объекты можно точно определить или записать. Математика также работает с бесконечными объектами, которые требуют специальных методов исследования и понимания.

talash · Сообщение **talash** » 28 сен 2023, 10:28

Оказывается, множество всех действительных чисел в теории множеств является первичным понятием, которое вводится через аксиоматические свойства. То есть, основания математики были резко усложнены. Осталось разобраться на каких основаниях это было сделано. Вопрос об основаниях новых оснований)

talash · Сообщение **talash** » 03 окт 2023, 10:46

Цитата из Пуанкаре про актуальную бесконечность.
Можно ли математику свести к логике, не обращаясь предварительно к тем принципам, которые ей, математике, свойственны? Существует школа математиков, которая со всей страстью и верой в дело стремится доказать это. Она выработала специальный язык, в котором нет больше слов, а имеются одни только знаки. Этот язык понятен только немногим посвященным, так что профаны склонны преклоняться перед категорическими утверждениями горячих адептов. Небесполезно, однако, ближе исследовать эти утверждения, чтобы убедиться, насколько оправдывается тот категорический тон, с которым они высказываются.

Но чтобы понять сущность вопроса, необходимо познакомиться с историческими деталями дела и в особенности вспомнить характер работ Кантора.

Понятие бесконечности уже давно было введено в математику. Но эта бесконечность была такой, какую философы называют потенциальной. В математике бесконечность обозначала количество, способное расти выше или ниже какого бы то ни было предела; это было изменяющееся количество, о котором можно было сказать, что оно перейдет все пределы, но нельзя было сказать, что оно их перешло. Кантор решил ввести в математику актуальную бесконечность, т. е. количество, не только способное перейти все пределы, но уже перешедшее через них. Он поставил себе вопросы вроде следующих: существует ли больше точек в пространстве, чем целых чисел? Существует ли больше точек в пространстве, чем точек на плоскости? И так далее.

Число целых чисел, число точек в пространстве и т. д. составляет то, что Кантор назвал кардинальным трансфинитным числом, т. е. таким количественным числом, которое больше всех обыкновенных количественных чисел. Кантор затем занялся сравнением этих кардинальных трансфинитных чисел. Размещая в соответствующем порядке элементы в совокупности, составленной из бесконечного числа таких элементов, он изобрел так называемые порядковые трансфинитные числа, на которых я не буду здесь останавливаться.

Многие математики последовали за Кантором и поставили ряд аналогичных вопросов. Они в такой степени освоились с трансфинитными числами, что готовы поставить теорию конечных чисел в зависимость от теории кардинальных чисел Кантора. По их мнению, чтобы вести преподавание арифметики по действительно логическому методу, необходимо начать с установления общих свойств кардинальных трансфинитных целых чисел, а затем выделить из них очень небольшой класс обыкновенных целых чисел. Этим способом можно было бы достигнуть цели, т. е. доказать все предложения, относящиеся к этому небольшому классу (т. е. всю нашу арифметику и нашу алгебру), не прибегая ни к какому началу, лежащему вне логики.

Этот метод, очевидно, противоречит всякой здоровой психологии. Конечно, не этим путем шел человеческий ум, создавая математику; и адепты нового метода, я полагаю, не думают ввести его на ступени среднего образования. Но по крайней мере логичен ли этот метод или, лучше сказать, безошибочен ли он? В этом можно усомниться.

Однако геометры, пользовавшиеся этим методом, очень многочисленны. Они собрали массу формул. Написав мемуары, в которых формулы не чередовались со словесными объяснениями, как это делается в обыкновенных математических книгах, а в которых, следовательно, такие объяснения совершенно отсутствуют, они вообразили, что освободились от всего того, что не представляет собой чистой логики. К несчастью, они пришли к противоречивым результатам. Это так называемые антиномии Кантора, к которым мы еще вернемся. Эти противоречия, однако, их не обескуражили, и они попытались внести такие изменения в свои правила, при которых обнаружившиеся уже противоречия исчезли; но мы при этом не приобрели уверенности в том, что не обнаружатся новые противоречия.

Настало время для справедливой оценки этих преувеличений. Я не надеюсь убедить упомянутых математиков: слишком долго дышали они своей атмосферой. Да и, кроме того, если вы опровергли одно из их доказательств, вы можете быть уверены, что оно возродится лишь в слегка измененном виде. Некоторые из доказательств уже несколько раз возрождались из пепла, наподобие той лернейской гидры[73 - Чудовищная девятиголовая змея, которая, как говорят древнегреческие мифы, жила в Лернейском болоте. На месте отрубленных голов у нее вырастали новые. — Примеч. ред.], у которой вырастали новые головы. Геркулес выпутался из затруднения, потому что его гидра имела девять голов, если не одиннадцать; но здесь слишком много голов: они имеются в Англии, в Германии, в Италии, во Франции, и Геркулес должен был бы отказаться от состязания. Я обращаюсь поэтому только к непредубежденным людям, обладающим здравым смыслом.

talash · Сообщение **talash** » 04 окт 2023, 12:50

На всякий случай скопирую сюда.

talash в сообщении #1612374 писал(а):Не согласен с epros и остаюсь при своём мнении.
Напомню, речь шла про эту теорему:
Vladimir Pliassov в сообщении #1608035 писал(а):
1. Несчетность множества точек отрезка
Множество называется несчетным, если оно неэквивалентно множеству натуральных чисел.

Теорема Кантора ... : Множество точек отрезка несчетно.

↓Предположим, что множество точек счетно: $x_1, x_2, \; \ldots, \; x_n, \; \ldots \; .$ Разделим отрезок на равные части: $[0, \frac {1}{3}]; [\frac {1}{3}; \frac {2}{3}]; [\frac {2}{3}; 1]$ , и выберем тот из отрезков, который не содержит ни внутри, ни на границе. Обозначим его через $\Delta_1$ , т.е. не принадлежит $\Delta_1$ . $\Delta_1$ также поделим на равные части и выберем ту часть, которая не содержит ни внутри, ни на границе. Обозначим эту часть $\Delta_2$ , т.е. не принадлежит $\Delta_ 2$ , и $\Delta_2\subset \Delta _1$ . Продолжая эту процедуру, мы получим последовательность вложенных друг в друга отрезков $\Delta_1\supset \Delta_2\supset \ldots\supset \Delta_{n-1}\supset \Delta_n\supset \ldots \; .$ Причем длины этих отрезков стремятся к нулю и $\forall n \; x_n\notin \Delta_n$ . В силу принципа вложенных отрезков существует точка $c\in \Delta_n$ для $\forall n$ , причем $c\ne x_n \; \forall n$ . А следовательно, точка в исходном списке точек отрезка отсутствует, т.е. точка оказалась незанумерованной. Это противоречие доказывает теорему. ↑

Вот конкретно, где я вижу ошибку в этом доказательстве. Здесь есть аргумент n, стремящийся к бесконечности, и два шага процедуры:
1. Выбор точки из множества в зависимости от аргумента n.
2. Построение системы вложенных отрезков в зависимости от выбранной точки.
Здесь делается предельный переход и по принципу вложенных отрезков в пункте 2 получается некоторая точка. Но в определении предельного перехода сказано, что аргумент n стремится к некоторому значению и не сказано, что он его достигнет. А если n не достиг в нашем случае бесконечности, то и п.1 оказывается незавершённым. Следовательно, вывод:
А следовательно, точка в исходном списке точек отрезка отсутствует

неверный, так как мы не обошли весь исходный список точек.

Ian · Сообщение **Ian** » 05 окт 2023, 01:31

Vladimir Pliassov писал(а):
Может быть, возможна математика, которая базируется не на натуральных числах, а на чем-то другом?

Математика это "то чем занимаются математики". Так или иначе они создают тексты. Упорядочим все символы (английские, русские, греческие и символы с клавиатуры, а без остальных обойдемся). Упорядочим эти тексты по числу символов в них, а при одинаковом - лексикографически. Остался пустяк- из этого счетного набора текстов выкинуть бессмысленные, а из остальных выкинуть неверные.
Какие числа (из действительных) мы используем. Те которые можем описать например "отношение длины окружности к ее диаметру" "\sum_{n=1}^{\infty}n^{-3/2}","наименьший корень уравнения

x^{99}-17x+8=0" главное чтобы результатом описания явилось конкретное число. Описания упорядочим (временно занумеруем). Выкинем те описания которые не определяют одного конкретного числа. Из остальных, когда они определяют одно и то же число, окончательной нумерации подвергаем только кратчайшее описание, остальные описания имеют право использоваться но не имеют номера а переадресуются на кратчайшее.
Итак, все числа с которыми мы можем работать , занумерованы. Это будет что то вроде 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,C,D,e,L,M,

\pi,-1,..., в общем все строится.(тут попались римские цифры,имхо общеизвестны)
Oops! А под каким номером будет "наименьшее по номеру число, кратчайшее описание которого существует, но содержит не менее ста символов"?
(Данное описание определяет это число конкретно, но содержит менее ста символов)

zykov · Сообщение **zykov** » 05 окт 2023, 09:54

Что-то мне кажется, что эти слова "актуальная" и "потенциальная" бесконечности - это просто новые (или наоборот старые) слова для хорошо известных сейчас понятий - "счётное" и "несчётное" множества. И никакаого более глубоко смысла тут нет.
Или там ещё что-то кроме этого имеется ввиду?

talash · Сообщение **talash** » 05 окт 2023, 12:24

О, общение переходит в другую плоскость.

mihaild в сообщении #1612528 писал(а):
talash в сообщении #1612510 писал(а):Сейчас удобно проверять свою логику с помощью AI
Это неудачная шутка или троллинг?

И ладно бы, если AI-бот фигню написал и он бы на этом меня поймал, но бот ответил точно. То есть, mihaild в форме наезда зацепился за оффтоп, выразив категорическое несогласие с моим мнением, что AI-боты уже достаточно умные, чтобы с ними консультироваться по математическим вопросам (с оговорками понятно, контролируя и при подозрениях перепроверяя логику). И я его понимаю, хочется самому оставаться Истиной в последней инстанции, хотя бы на этом маленьком кусочке реальности, интернет-форуме dxdy. Реакция понятна, но это всё временно, потому что против прогресса не попрёшь.

Ведь было бы удобно. Вместо многодневного обсасывания нюансов считается ли пустое множество отрезком натурального ряда и по какому определению считается, а по какому не считается, как здесь и далее по теме:

mihaild в сообщении #1611509 писал(а):
Vladimir Pliassov в сообщении #1611503 писал(а):Но ведь и пустое множество неравномощно никакому отрезку натурального ряда?
Пустое множество считается отрезком натурального ряда. Отрезок натурального ряда - это множество, состоящее из натуральных чисел, ограниченное сверху и вместе с каждым числом содержащее все меньшие.

Просто задать вопрос AI и получить авторитетный и достоверный ответ.

Пустое множество считается отрезком натурального ряда?

Bing AI:
Пустое множество в математике — это множество, которое не содержит ни одного элемента. Оно обладает рядом уникальных свойств, таких как наименьшая мощность среди всех множеств и то, что оно является своим подмножеством. Однако, пустое множество не считается отрезком натурального ряда. Отрезком натурального ряда обычно называют подмножество натуральных чисел, которое начинается с единицы и заканчивается некоторым фиксированным натуральным числом. Поскольку пустое множество не содержит элементов, оно не может быть отрезком натурального ряда.

Но пока AI не в авторитете, слушаем mihaild)

Ian · Сообщение **Ian** » 05 окт 2023, 13:43

Один раз общался с ИИ GPT4. Задал ему задачку по геометрии с московской олимпиады школьников, доказать что что-то равно чему-то (не помню) Он через 10 мин представил мухлежное решение с логической ошибкой, но на первый взгляд правдоподобное (ну явно собака повторяет характер хозяина). Я в ответ разобрал его ошибку, он очень обстоятельно покаялся , показав что действительно понял где ошибка, но новых доказательств не сочинил. Вывод такой - творческие задачи он не все потянет, но в пределах года увидим как ИИ проверяет домашние работы студентов- математиков на предмет логичности и обоснованности базовыми теоремами. При этом будет понимать и сам применять живой человеческий русский. Не потребуется для ИИ специально писать доказательства строже чем раньше.
Потом дойдет очередь научных статей . Они как правило пишутся столь кратко, что понятны только 3-5ти узким коллегам, с которыми у автора обычно и так переписка. Но провести проверку в интерактиве с автором - я представляю как, это может стать удобно и интересно и для самого автора. Он увидит что ИИ запас довольно большую базу "надежных знаний" (как-то отделив их от недостоверных заявлений в сети), и значит лестно иметь на статье лейбл "верифицировано ИИ таким-то" Смысл в том чтобы сложилось: если ИИ говорит что верно - значит точно верно, а если говорит что не согласен или не понимает -тогда не факт что неверно. И такое еще через год реально, но надо чтобы команда ИИ серьезно отнеслась к математике, или набрать новую команду

talash · Сообщение **talash** » 05 окт 2023, 16:35

zykov писал(а):Что-то мне кажется, что эти слова "актуальная" и "потенциальная" бесконечности - это просто новые (или наоборот старые) слова для хорошо известных сейчас понятий - "счётное" и "несчётное" множества. И никакаого более глубоко смысла тут нет.
Или там ещё что-то кроме этого имеется ввиду?

Да, множество действительных чисел не может быть сконструировано традиционными до конца 19-го века алгебраическими приёмами. Но по новым понятиям оно существует.

Я вижу проблему не столько в самой актуальной бесконечности, а в том, что всю эту новую философию пропихнули в основания алгебры. Спрашивается, на каких основаниях?

talash · Сообщение **talash** » 05 окт 2023, 16:52

Ian писал(а):Один раз общался с ИИ GPT4. Задал ему задачку по геометрии с московской олимпиады школьников, доказать что что-то равно чему-то (не помню) Он через 10 мин представил мухлежное решение с логической ошибкой, но на первый взгляд правдоподобное (ну явно собака повторяет характер хозяина). Я в ответ разобрал его ошибку, он очень обстоятельно покаялся , показав что действительно понял где ошибка, но новых доказательств не сочинил.

Я много общаюсь с AI. Пока такое бывает, что он ошибается, ему показываешь ошибку, он кается, но упорно её повторяет. Но уровень очень вырос в том же бесплатном BingAI, там скорее всего GPT-4.

Ian писал(а):но в пределах года увидим как ИИ проверяет домашние работы студентов- математиков на предмет логичности и обоснованности базовыми теоремами.

Студенты же сами смогут прогонять свои работы через контроль ИИ.

Ian писал(а):При этом будет понимать и сам применять живой человеческий русский. Не потребуется для ИИ специально писать доказательства строже чем раньше.
Потом дойдет очередь научных статей . Они как правило пишутся столь кратко, что понятны только 3-5ти узким коллегам, с которыми у автора обычно и так переписка. Но провести проверку в интерактиве с автором - я представляю как, это может стать удобно и интересно и для самого автора. Он увидит что ИИ запас довольно большую базу "надежных знаний" (как-то отделив их от недостоверных заявлений в сети), и значит лестно иметь на статье лейбл "верифицировано ИИ таким-то" Смысл в том чтобы сложилось: если ИИ говорит что верно - значит точно верно, а если говорит что не согласен или не понимает -тогда не факт что неверно. И такое еще через год реально, но надо чтобы команда ИИ серьезно отнеслась к математике, или набрать новую команду

Я думаю аналогично, что проверка точности написанного человеком уже скоро будет весьма достоверной. И уже сейчас можно пользоваться самому в случае не очень сложных рассуждений, потому что если ИИ ошибётся, то ты легко это поймёшь потому что глубоко в теме своей работы, и не поверишь ему. Но есть и шанс, что он найдёт твою реальную ошибку.

talash · Сообщение **talash** » 08 окт 2023, 00:11

Немного истории. Что-то странное написано. Ведь и до теории множеств(до конца 19-го века) математика имела определённые основания. Они не были чётко обозначены, видимо потому что их углубленно не изучали, а в конце 19-го века начали изучать и некоторые деятели пришли к выводу, что основаниями математики являются другие основания, не те которые были. Иначе как понять, что "многие из разделов математики перестраивались на теоретико-множественной основе"? Потом выяснилось, что эти новые основания противоречивы. Но изначальные же не были противоречивыми. Так откуда здесь кризис оснований математики? Что за странное название?

На раннем этапе своего научного творчества Пуанкаре весьма доброжелательно встретил канторовскую теорию множеств. Будучи молодым преподавателем Сорбонны, он участвовал в переводе на французский язык основополагающих работ Кантора и даже применял отдельные положения его теории в своих исследованиях по автоморфным функциям, по общей теории аналитических функций. Но в начале XX века Пуанкаре становится ярым противником теории множеств. Это сказалось на общем отношении к ней в среде математиков. Даже много лет спустя, в 1927 году, Д. Гильберт сетовал на то отрицательное влияние, которое оказали взгляды знаменитого французского ученого на научный престиж теории множеств: «К сожалению, Пуанкаре, самый плодовитый и богатый идеями среди математиков своего поколения, имел определенное предубеждение к теории Кантора, не позволившее составить справедливое мнение о великолепных понятиях, введенных Кантором»[119]. Но «предубеждение» Пуанкаре имело под собой довольно веское основание.

Как и многие другие математики, высшим критерием полноценности математической теории Пуанкаре считал ее непротиворечивость. Но как раз на рубеже двух веков в теории множеств выявились вопиющие противоречия, к которым приводят совершенно правильные в логическом отношении рассуждения. Именно эти неразрешимые парадоксы оттолкнули Пуанкаре от этой теории. Он отказывал ей в праве на существование, поскольку отдельные ее положения противоречили друг другу. Впрочем, Пуанкаре был не одинок в своем категорическом подходе к этому вопросу. Не мало было в те годы предложений избавить математику от разрушительных катастроф, вызванных парадоксами теории множеств, отказавшись от самой теории.

Пуанкаре выступал против трансфинитных чисел, введенных Кантором, против аксиоматики Цермело, против теории типов Рассела, критиковал непредикативные определения в математике. Аксиома Цермело, выдвинутая автором в 1904 году, привлекла особое внимание математиков. Ей посвящались и посвящаются многие сотни работ, включая целые книги. И это не случайно. Поскольку эта аксиома выбора связана с более фундаментальными положениями математики, чем аксиома параллельности в геометрии, то непринятие ее привело бы к гораздо более глубокой перестройке традиционных представлений.

Последствия такого потрясения могли затронуть не только математику, но и вообще наши научные взгляды. Подчеркивая важность этой аксиомы и распространенность ее в математических рассуждениях, Пуанкаре выражает мнение о безнадежности попыток Рассела доказать аксиому выбора. По его мнению, она представляет собой априорное синтетическое суждение.

Пуанкаре явился инициатором современной постановки проблемы непредикативности. В качестве непредикативных определений он рассматривает определения, построенные по принципу порочного круга, когда рассуждение, приводящее к требуемому результату, само опирается на то, что с его помощью нужно определить. Наиболее полно свои взгляды на непредикативные определения Пуанкаре развил в статье «Логика бесконечного», вошедшей в книгу «Последние мысли». Скрытым источником непредикативности и всех противоречий в теории множеств Пуанкаре считает основное понятие этой теории — актуальную бесконечность. Ее необходимо исключить из математического обихода. Только в устранении непредикативных определений видит он возможность выхода из парадоксов теории множеств.

Первый такой парадокс обнаружил в 1897 году итальянский математик Бурали-Форти. Хотя Бурали-Форти не сумел преодолеть обнаруженного им противоречия, дело еще не представлялось слишком серьезным. Казалось, что небольшой пересмотр доказательств теорем мог бы спасти положение. Не поколебала этой уверенности и еще одна антиномия, обнаруженная Кантором в 1899 году. Эти парадоксы как будто бы не затрагивали самой сути теории множеств и имели вид лишь досадных случайностей на фоне всеобщего признания учения Кантора.

Как раз в это время теория множеств «входит в моду» и ее методы все шире и шире применяются в различных областях математики. Триумфом новой теории стало ее признание на I Международном конгрессе математиков в Цюрихе (1897). В обстановке такого успеха парадокс Бурали-Форти выглядел как нелепая случайность. Однако вскоре по теории множеств был нанесен тяжелейший удар открытием парадокса Рассела. От этого парадокса уже нельзя было так просто отмахнуться, поскольку он был обнаружен не где-то в хитросплетениях абстрактных построений, а вытекал прямо из определения множества, данного Кантором. Не приходится удивляться той бурной реакции ученых, которую вызвало сообщение о парадоксе Рассела.

После открытия парадокса Рассела новые антиномии посыпались как из рога изобилия: парадокс Ришара (1905), парадокс Греллинга (1908) и другие. Оказалось даже, что в теории множеств имеет место парадокс «лжеца», известный еще древним грекам. Все это подорвало доверие к теории множеств среди ученых.

Если бы речь шла о парадоксах, затрагивающих какой-нибудь частный раздел математики, то можно было бы «отсечь» этот загнивший росток от «здорового» математического древа. Но с теорией множеств так нельзя было поступить, по тому что она стала основанием практически всей математики. Ее понятия и методы широко использовались в самых различных областях математики, многие из разделов которой перестраивались на теоретико-множественной основе. Теория множеств превратилась в своего рода фундамент математики. Обнаружение парадоксов показало, что фундамент самого этого фундамента является весьма непрочным. Академик А. Д. Александров так характеризует создавшуюся тогда ситуацию: «Теоретико-множественная установка оказалась подорванной, и вместе с нею оказалось подорванным все стройное здание математики. В верхних его этажах шло энергичное строительство: кирпичики теорем, соединяемые цементом логики, укладывались в рамки уже определившихся разделов и воздвигались каркасы новых теорий, но в теоретико-множественном фундаменте обнаружились расширяющиеся трещины парадоксов и под ними зыбучие пески и топи логических трудностей»[120].

Самые основы математики и логики оказались пораженными неразрешимыми противоречиями. Произошло крушение, казалось бы, незыблемых понятий и представлений. Налицо был кризис оснований математики. И даже не сами парадоксы говорят об этом кризисе. Гораздо более убедительно о кризисе свидетельствует тот факт, что попытки преодолеть антиномии выявили далеко идущие и неожиданные расхождения мнений по поводу самых основных математических понятий.

Этот кризис резко обострил борьбу между такими течениями как логицизм, интуиционизм и формализм. Выступления Пуанкаре против логицизма и допустимости актуальной бесконечности, разработка им учения о математической интуиции были одним из источников возникновения интуиционизма как одного из направлений в обосновании математики. Для сторонников интуиционизма характерно отвержение абстракции актуальной бесконечности и «чистых» теорем существования, а также неприятие неограниченного применения закона исключенного третьего. Интуиционисты рассматривают математические объекты как конструктивные. Большое внимание уделяется анализу роли интуиции в математическом познании.

https://flibusta.club/b/601191/read

talash · Сообщение **talash** » 08 окт 2023, 00:38

Ian писал(а):Source of the post Oops! А под каким номером будет "наименьшее по номеру число, кратчайшее описание которого существует, но содержит не менее ста символов"?

Нашёл аналогичный пример в книге Пуанкаре.

Каково наименьшее целое число, которое не может быть определено фразой, состоящей менее чем из ста французских слов? И существует ли такое число?

Да, так как с помощью ста французских слов можно построить только конечное число фраз, а число слов в словаре французского языка конечно. Среди этих фраз будут и такие, которые не имеют никакого смысла и не определяют никакого целого числа. Но каждая из них может определить не больше одного целого числа. Количество целых чисел, которые могут быть таким образом определены, очевидно, конечно; следовательно, наверняка найдутся целые числа, которые не могут быть определены, и среди этих чисел найдется одно, которое будет меньше всех остальных.

Нет, так как если бы это целое число существовало, то его существование являлось бы противоречием, поскольку оно определялось бы фразой, состоящей менее чем из ста французских слов, т. е. той самой фразой, которая утверждает, что этого не может быть[87].
https://flibusta.club/b/601191/read

talash · Сообщение **talash** » 08 окт 2023, 15:52

В цитате ниже Пуанкаре пишет, что иррациональные числа получаются из целых чисел. Вот это и есть настоящие минималистские основания алгебры и матанализа. На каких основаниях они были заменены громоздкой путанной философией логицизма и теории множеств? Разбираемся дальше.

Долгое время предметы, которыми занимаются математики, были по большей части плохо определены; думали, что знают их, потому что представляли себе их при помощи чувств или воображения; но получался только грубый образ, а не ясная идея, на которой можно было бы строить рассуждение.

Вот сюда-то прежде всего логики и должны были направить свои усилия.

Точно то же произошло и для иррационального числа.

Смутная идея непрерывности, которой мы обязаны интуиции, разрешилась в сложную систему неравенств, касающуюся целых чисел.

Благодаря ей трудности при переходе к пределу или при рассмотрении бесконечно малых окончательно устраняются.

Теперь в анализе остаются только целые числа или конечные и бесконечные системы целых чисел, связанных между собой сетью отношений равенства или неравенства.

Математика, как говорят, арифметизировалась.

talash · Сообщение **talash** » 09 окт 2023, 22:48

Ниже в цитате Пуанкаре утверждает, что в матанализе уже была достигнута абсолютная строгость. Раз так, то наверное где-то должны быть явно сформулированы "старые" основания алгебры и анализа?

Прежде всего возникает вопрос: закончилась ли эта эволюция?

Достигли ли мы наконец абсолютной строгости? Ведь на каждой стадии эволюции наши предки также верили в то, что достигли ее. Если они ошибались, то не ошибаемся ли и мы подобно им?

Мы надеемся уже не прибегать в наших рассуждениях к интуиции; философы скажут нам, что это иллюзия. Чистая логика всегда приводила бы нас только к тавтологии; она не могла бы создать ничего нового; сама по себе она не может дать начало никакой науке.

Эти философы правы в одном смысле: для того чтобы создать геометрию или какую бы то ни было науку, нужно нечто другое, чем чистая логика. Для обозначения этого другого у нас нет иного слова, кроме слова "интуиция". Но сколько различных идей скрывается под одним и тем же словом?

Сравним такие четыре аксиомы:

1) Две величины, равные третьей, равны между собой.

2) Если теорема справедлива для 1 и если доказывается, что она справедлива для n+1, когда справедлива для n, то она будет справедлива для всех целых чисел.

3) Если точка С лежит на прямой между А и В, а точка D между А и С, то точка D будет лежать между А и В.

4) Через одну точку можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой.

Все четыре аксиомы должны быть приписаны интуиции, и однако же первая является выражением одного из правил формальной логики; вторая - настоящее синтетическое суждение a priori, это - основание строгой математической индукции; третья есть обращение к воображению; четвертая - скрытое определение.

...

Итак, мы имеем несколько родов интуиции; сначала обращение к чувствам и воображению; затем обобщение посредством индукции, так сказать, срисованное с приемов экспериментальных наук; наконец, мы имеем интуицию чистого числа, ту интуицию, из которой вышла вторая из только что приведенных мною аксиом и которая может дать начало настоящему математическому умозаключению.

Две первые не могут дать достоверности, выше я показал это на примерах; но кто станет серьезно сомневаться относительно третьей, кто станет сомневаться в арифметике?

В новейшем анализе, - если пожелаем взять на себя труд быть строгими, - находят место лишь силлогизмы и обращения к этой интуиции чистого числа, единственной интуиции, которая не может обмануть нас. Можно сказать, что ныне достигнута абсолютная строгость.

talash · Сообщение **talash** » 12 окт 2023, 19:59

Кто-нибудь что-то знает про первообраз идеи непрерывной функции? Цитата из Пуанкаре:

Посмотрим, что произошло, например, с идеей непрерывной функции. Вначале это был только чувственный образ, например образ непрерывной черты, проведенной мелом на чёрной доске. Потом мало-помалу она стала очищаться: скоро воспользовались ею для построения сложной системы неравенств, которая воспроизводила, так сказать, все черты первообраза; когда это построение было окончено, тогда освободили ее от «строительных лесов», отбросив то грубое представление, которое служило ей некоторое время подпорой, а теперь стало бесполезным; не осталось больше ничего, кроме самого построения, безупречного в глазах логика. Однако же если бы первообраз совершенно исчез из нашей памяти, как бы мы угадали, по какой прихоти были построены так, одно за другим, эти неравенства?

Портал Естественных Наук, версия 1.1