Максимальный треугольник

Albus
Сообщений: 58
Зарегистрирован: 11 июн 2019, 10:46

Максимальный треугольник

Сообщение Albus » 17 сен 2023, 19:25

Пусть есть выпуклый многоугольник (или выпуклая замкнутая кривая), в который вписан треугольник максимальной площади. Найти минимально возможную площадь данного треуголька (выраженную в долях от площади многоугольника)

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 948
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Максимальный треугольник

Сообщение Ian » 20 сен 2023, 14:36

Похоже что [math]. Но доказать будет непросто

ARRY
Сообщений: 85
Зарегистрирован: 30 дек 2015, 09:46

Максимальный треугольник

Сообщение ARRY » 20 сен 2023, 16:57

Это старая задача 15-летней давности, рассмотренная на этом же форуме (старом ПЕН).
Доказывается довольно легко, что площадь такого треугольника будет не меньше четверти площади многоугольника.
А вот для выпуклой замкнутой кривой невозможно доказать существование такого максимального треугольника.
Если хотите, можно поискать ту тему. Навскидку, 2008 или 2009 годы.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 948
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Максимальный треугольник

Сообщение Ian » 20 сен 2023, 22:29

1/4, в роли грубой оценки снизу, получить легко. Рассмотрим диаметр области. Из выпуклости - она лежит в полосе такой, что диаметр реализует ее ширину. Вырежем из полосы двумя параллельными отрезками минимальный прямоугольник, содержаший область. Треугольник с основанием -этот диаметр, и высотой в ту или другую сторону, имеет площадь не менее 1/4 прямоугольника , и значит не менее 1/4 площади области
Тогда на форуме были наивны но и то вряд ли верили что 1/4 здесь играет роль. Что-нибудь еще говорили?
---
Существование максимального треугольника для любой замкнутой кривой. Трижды декартово умножим область саму на себя. получим компакт в 6-мерном пространстве. Площадь- непрерывная функция тройки вершин, имеет максимум и достигает его.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 948
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Максимальный треугольник

Сообщение Ian » 20 сен 2023, 23:33

Ian писал(а):Похоже что [math]. Но доказать будет непросто

Тут я неправ. [math] А на вид треугольник в круге показался больше чем треугольник в квадрате (


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 14 гостей