[math]
n-й подходящей дробью [math] для него называется обычная дробь (имеющая один числитель и один знаменатель), получаемая таким образом: принудительно заменяется [math] на 0, и таким образом остается только выражение содержащее только [math]. Это выражение последовательно сворачивается снизу (приведение к общему знаменателю; домножение числителя на знаменатель знаменателя - этим сокращен этаж ...- и так далее пока не останется два этажа. Например, 4-я подходящая дробь [math]
Пока не были определены 1-я и 2-я подходящая дроби, так вот доопределяем:[math]и значит [math] (Мне именно такой сдвиг по индексам удобен, специалисты, извините, немного непривычно)
Аналогично теории традиционных непрерывных дробей, числители и знаменатели подходящих дробей образуют фундаментальную систему решений одного разностного уравнения(это сложная лемма, но могу доказать):
\begin{cases}
\begin{array}{ccccc}
a_{n+2} & = & r_{n}a_{n+1} & + & s_{n}a_{n}\\
b_{n+2} & = & r_{n}b_{n+1} & + & s_{n}b_{n}
\end{array} & n=1,2,...\end{cases}
Никто не обещал, что в таких условиях подходящие дроби обязаны куда-то сходиться. Но сходятся :
[math]
Вопрос в том, что это за кси такое, не связано ли оно с известными трансцедентными числами?
Странная непрерывная дробь
Странная непрерывная дробь
Тут еще такая сложность. Чтобы дробь сделать более похожей на нормальную, хорошо бы превратить все [math] в единицы (ну пока хоть в минус единицы). Для каждой дробной черты -такие множители , на которые надо умножить сверху и снизу черты -находятся. Но они сильно разные, четные от нечетных, и соответственно получаемые [math] тоже мигающие. Хотя значения всех подходящих дробей от такой операции не меняются,и они по-прежнему монотонно убывая сходятся к [math]
Странная непрерывная дробь
Кто ж его знает.Ian писал(а):Source of the post Вопрос в том, что это за кси такое, не связано ли оно с известными трансцедентными числами?
Всё может быть...
[math] довольно быстро сходится к 2, а [math] к -1.
Такая дробь (с "2" и "-1") сходится к 1.
Т.е. "хвост" исходной дробы ([math]) аппроксимруется "1". Ну а начало надо считать.
Лучше заменить дробь на "-1".Ian писал(а):Source of the post принудительно заменяется [math] на 0
Будет [math]
Странная непрерывная дробь
Попробовал численно, хвост не так уж быстро к "-1" стремится.
На уровне 5000 хвост где-то "-0.9804419511".
На уровне 1000 хвост где-то "-0.957440499".
А значениеопределяется началом дроби.
На уровне 5000 хвост где-то "-0.9804419511".
На уровне 1000 хвост где-то "-0.957440499".
А значение
Код: Выбрать все
-0.538945932281939983655090592906138746275040487204890077177609256589296767657
Странная непрерывная дробь
zykov писал(а):А значениеопределяется началом дроби.Код: Выбрать все
-0.538945932281939983655090592906138746275040487204890077177609256589296767657
Спасибо, много знаков пригодится!
Есть еще одна трудность -верно ли, что [math] ? Интересует именно теоретическое доказательство. Численно это вроде очевидно.
Пока доказал, что аналог определителя Вронского
[math]
отсюда монотонность сходимости:
[math], с убыванием.
Странная непрерывная дробь
Вроде нет.Ian писал(а):Source of the post Есть еще одна трудность -верно ли, что [math]?
При 10 получается [math].
При 30 получается [math].
При 100 получается [math].
Странная непрерывная дробь
Эта дробь не является цепной дробью.
Поэтому там нет оптимальности приближения.
Если взять 10000 шагов, то будет дробь, где числитель и знаменатель будут иметь 71129 десятичных знаков.
Если это число разложить в цепную дробь, то будет
Если эту цепную дробь привести к общему знаменателю, то будет по 115 десятичных знаковВот тут уже будет [math] порядка [math]
Поэтому там нет оптимальности приближения.
Если взять 10000 шагов, то будет дробь, где числитель и знаменатель будут иметь 71129 десятичных знаков.
Если это число разложить в цепную дробь, то будет
Код: Выбрать все
[-1,2,5,1,11,2,1,2,2,2,3,2,6,4,2,5,4,5,2,2,8,1,24,1,4,4,1,1,2,1,1,1,1,2,1,6,2,8,12,1,1,2,3,2,1,1,2,1,17,1,1,2,1,2,1,1,15,2,2,6,70,1,1,7,3,5,3,1,21,2,4,1,12,1,2,1,4,1,4,1,2,336,4,1,1,3,128,1,1,1,1,1,4,4,5,1,1,1,1,2,6,2,36,12,1,6,2,4,1,1,1,1,2,6,3,1,4,2,20,1,1,3,3,1,5,2,14,1,3,6,1,1,2,1,33,5,1,3,1,1,7,3,1,9,1,4,2,1,1,48,5,1,44,1,6,7,1,1,19,15,1,1,1,2,18,1,5,7,2,1,44,16,1,6,1,1,1,1,3,17,1,4,3,11,4,24,7,1,115,1,4,1,1,1,2,8,1,11,1,6,12,3,2,1,3,10,9,16,10,2,2,1,1,4,4,216,1,3,20]
Если эту цепную дробь привести к общему знаменателю, то будет по 115 десятичных знаков
Код: Выбрать все
-54117837056866659452723134067899402740759545352514814504865214025317804181750740549956305345087530670661582448644544
/
100414223051517299599618697148917839838285985510813412629211598768829340741497165838036086808780878090915957726807583
Странная непрерывная дробь
Мы разные вещи считаем??zykov писал(а):Вроде нет.Ian писал(а):Source of the post Есть еще одна трудность -верно ли, что [math]?
При 10 получается [math].
При 30 получается [math].
При 100 получается [math].
Код: Выбрать все
n a_n b_n xi_n a_n-b_n*xi
1 1 0 1
2 0 1 0,538945932
3 -4 8 -0,5 0,311567458
4 -18 33,75 -0,533333333 0,189425215
5 -56,88888889 105,7777778 -0,537815126 0,11961417
6 -149,6527778 277,8211806 -0,538665833 0,077817384
7 -349,08 647,805 -0,538865862 0,051869662
8 -746,5792747 1385,323671 -0,538920463 0,03528264
9 -1494,306677 2772,692038 -0,538937125 0,024418766
10 -2837,574381 5265,076451 -0,538942674 0,01715541
11 -5161,533439 9577,112177 -0,538944657 0,012212412
12 -9057,44592 16805,86896 -0,538945409 0,008795992
13 -15415,56702 28603,19097 -0,538945708 0,006402135
14 -25553,84232 47414,49093 -0,538945833 0,00470416
15 -41394,40859 76806,24269 -0,538945887 0,003486462
16 -65703,41502 121910,963 -0,538945911 0,00260445
17 -102414,1328 190026,7331 -0,538945922 0,00195975
18 -157058,9135 291418,6851 -0,538945927 0,001484569
19 -237342,5497 440382,8597 -0,53894593 0,001131632
20 -353898,3122 656649,0104 -0,538945931 0,000867621
21 -521278,7531 967219,0151 -0,538945932 0,000668819
22 -759246,7614 1408762,394 -0,538945932 0,000518194
23 -1094448,863 2030721,076 -0,538945932 0,000403409
24 -1562573,058 2899313,206 -0,538945932 0,00031546
25 -2211118,371 4102671,972 -0,538945932 0,000247723
26 -3102933,684 5757411,826 -0,538945932 0,000195299
27 -4320720,515 8016983,256 -0,538945932 0,000154533
28 -5972739,431 11082260,9 -0,538945932 0,000122687
29 -8200014,464 15214911,13 -0,538945932 9,76948E-05
30 -11185396 20754208,04 -0,538945932 7,79871E-05
31 -15164922,46 28138114,7 -0,538945932 6,23688E-05
32 -20442017,12 37929625,03 -0,538945932 4,99226E-05
33 -27405172,18 50849576,07 -0,538945932 3,99314E-05
34 -36549910,51 67817397,48 -0,538945932 3,18438E-05
35 -48505981,69 90001573,04 -0,538945932 2,52128E-05
36 -64070947,03 118881956,8 -0,538945932 1,96993E-05
37 -84251544,84 156326525,1 -0,538945932 1,49757E-05
38 -110314508,7 204685669 -0,538945932 1,08629E-05
39 -143848846,2 266907750 -0,538945932 7,09295E-06
40 -186841982,2 346680383 -0,538945932 3,54648E-06
41 -241772642,4 448602778,1 -0,538945932 0
Странная непрерывная дробь
У меня [math] и [math] целые.
Получаются после упрощения высокой дроби.
Получаются после упрощения высокой дроби.
Странная непрерывная дробь
Я имею в виду [math]-решения конкретной рекуррентности из поста 1 с конкретными начальными условиями. Они дробные. Собственно сначала возникли только они и именно такие. А рекуррентность оказалась похожа на ту которая задает непрерывную дробь.
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 1 гость