Страница 1 из 1
Субфакториалы в ряде Лорана
Добавлено: 05 янв 2023, 08:33
Ian
Разложить в ряды Лорана в точке z=1
[math]\frac 1ze^{\frac 1{z-1}} (найти компактную форму коэффициентов)
Вольфрамальфа не берет, хотя знает раз в 100 больше спецфункций, чем я например. Наверное причина в том что у них субфакториалы гораздо менее популярны чем у нас.
И почему-то задача, отличающаяся линейным множителем при z:
Разложить в ряды Лорана в точке z=2
[math]\frac 1ze^{\frac 1{z-2}} -у меня уже не получилась
Субфакториалы в ряде Лорана
Добавлено: 05 янв 2023, 09:03
zykov
А ряд там есть?
[math]\frac{1}{z-1} стремится к бесконечности в 1.
А [math]e^z в бесконечности имеет существенно особую точку.
Субфакториалы в ряде Лорана
Добавлено: 05 янв 2023, 11:12
Ian
Ряд есть
https://www.wolframalpha.com/input?i=Laurent+series++, при
[math]0<|z-1|<1 один (по положительным и отрицательным степеням (z-1) ), при
[math]|z-1|>1 другой (в нем обнулятся коэффициенты при положительных степенях, так как бесконечность- регулярная точка, а коэффициенты при отрицательных степенях другие будут) У меня посчитано но могут быть ошибки
Субфакториалы в ряде Лорана
Добавлено: 05 янв 2023, 12:05
zykov
Вот какой ряд Лорана у [math]e^\frac1z в нуле?
(Или [math]e^z в бесконечности?)
Субфакториалы в ряде Лорана
Добавлено: 05 янв 2023, 15:44
Ian
zykov писал(а):Вот какой ряд Лорана у [math]e^\frac1z в нуле?
[math]\sum_{n=0}^{\infty}\frac 1{n!z^n},сходится при
[math]z\ne 0
Субфакториалы в ряде Лорана
Добавлено: 05 янв 2023, 22:49
zykov
Понятно - ряд Тэйлора для
[math]e^w.
Тогда нужно взять ряд Тэйлора для
[math]\frac{w}{1+w} e^w.
Вольфрам-альфа
Субфакториалы в ряде Лорана
Добавлено: 06 янв 2023, 08:13
Ian
Да, у Вас взял, сослался на гипергеометрическую, или неполную гамму.
А у меня то же самое -не обобщил
https://www.wolframalpha.com/input?i=La ... 9+at+z%3D1Мой подсчет:
[math]\frac{1}{\text{z}}e^{\frac{1}{z-1}}=\left(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!(z-1)^{m}}\right)\left[\frac{1}{z-1}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{1}{(z-1)^{k}}\right]=[math]=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(z-1)^{n}}\sum_{m+k=n-1,m,k\geq0}\frac{(-1)^{k}}{m!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(z-1)^{n}}\sum_{m=0}^{n-1}\frac{(-1)^{m}}{m!}=(по определению субфакториала
[math]!(n-1)=(n-1)!\sum_{m=0}^{n-1}\frac{(-1)^{m}}{m!}\sim\frac{(n-1)!}{e})
[math]=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(z-1)^{n}(n-1)!}!(n-1)-коэффициенты ряда Лорана имеют компактную форму, но с применением субфакториалов
Субфакториалы в ряде Лорана
Добавлено: 06 янв 2023, 10:49
zykov
Единственное, там полюс в [math]w=-1, так что ряд Тэйлора расходится вне круга радиуса 1.
Это в отличии от экспоненты, где сходится везде до самой бесконечности.
Субфакториалы в ряде Лорана
Добавлено: 06 янв 2023, 15:32
Ian
zykov писал(а):Единственное, там полюс в [math]w=-1, так что ряд Тэйлора расходится вне круга радиуса 1.
Это в отличие от экспоненты, где сходится везде до самой бесконечности.
Так по определению, ряды Лорана пишутся в кольцах, частные случаи которых и внешность круга, и проколотый круг. Так вот в {|w|>1} разложение другое, с положительными и отрицательными степенями, и с коэффициентами тоже через субфакториалы. И в общем случае все виды особых точек лежат на границах колец
Субфакториалы в ряде Лорана
Добавлено: 06 янв 2023, 16:42
zykov
А как его там искать?
Ряд Тэйлора уже не подходит.
Субфакториалы в ряде Лорана
Добавлено: 06 янв 2023, 19:37
Ian
Все равно перемножаются ряды в той области где оба сходящиеся
При [math]|z-1|<1
[math]\frac{1}{\text{z}}e^{\frac{1}{z-1}}=\left(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!(z-1)^{m}}\right)\left[\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(z-1)^{k}\right]=
[math]=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(z-1)^{n}}\sum_{m-k=n-1,k\geq0}\frac{(-1)^{n-1-m}}{m!}+\sum_{n=1}^{\infty}(z-1)^{n}\sum_{k-m=n-1,k\geq0}\frac{(-1)^{n-1-m}}{m!}=
[math]=1+\frac{e^{-1}}{z-1}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(z-1)^{n}}\left[e^{-1}-\sum_{m=0}^{n-2}\frac{(-1)^{m}}{m!}\right]+e^{-1}(z-1)+\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}(z-1)^{n}\left[e^{-1}-\sum_{m=0}^{n-2}\frac{(-1)^{m}}{m!}\right]=
[math]=\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}(z-1)^{n}\left[e^{-1}-\frac{!(n-2)}{(n-2)!}\right]+e^{-1}(z-1)+1+\frac{e^{-1}}{z-1}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(z-1)^{n}}\left[e^{-1}-\frac{!(n-2)}{(n-2)!}\right]