Субфакториалы в ряде Лорана

[Ian]

Разложить в ряды Лорана в точке z=1
[math]\frac 1ze^{\frac 1{z-1}} (найти компактную форму коэффициентов)
Вольфрамальфа не берет, хотя знает раз в 100 больше спецфункций, чем я например. Наверное причина в том что у них субфакториалы гораздо менее популярны чем у нас.
И почему-то задача, отличающаяся линейным множителем при z:
Разложить в ряды Лорана в точке z=2
[math]\frac 1ze^{\frac 1{z-2}} -у меня уже не получилась

[zykov]

А ряд там есть?
[math]\frac{1}{z-1} стремится к бесконечности в 1.
А [math]e^z в бесконечности имеет существенно особую точку.

[Ian]

Ряд есть https://www.wolframalpha.com/input?i=Laurent+series++, при [math]0<|z-1|<1 один (по положительным и отрицательным степеням (z-1) ), при [math]|z-1|>1 другой (в нем обнулятся коэффициенты при положительных степенях, так как бесконечность- регулярная точка, а коэффициенты при отрицательных степенях другие будут) У меня посчитано но могут быть ошибки

[zykov]

Вот какой ряд Лорана у [math]e^\frac1z в нуле?
(Или [math]e^z в бесконечности?)

[Ian]

Вот какой ряд Лорана у [math]e^\frac1z в нуле?

[math]\sum_{n=0}^{\infty}\frac 1{n!z^n}
,сходится при [math]z\ne 0

[zykov]

Понятно - ряд Тэйлора для [math]e^w.

Тогда нужно взять ряд Тэйлора для [math]\frac{w}{1+w} e^w.
Вольфрам-альфа

[Ian]

Да, у Вас взял, сослался на гипергеометрическую, или неполную гамму.
А у меня то же самое -не обобщил https://www.wolframalpha.com/input?i=La ... 9+at+z%3D1
Мой подсчет:
[math]\frac{1}{\text{z}}e^{\frac{1}{z-1}}=\left(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!(z-1)^{m}}\right)\left[\frac{1}{z-1}\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{1}{(z-1)^{k}}\right]=
[math]=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(z-1)^{n}}\sum_{m+k=n-1,m,k\geq0}\frac{(-1)^{k}}{m!}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(z-1)^{n}}\sum_{m=0}^{n-1}\frac{(-1)^{m}}{m!}=
(по определению субфакториала [math]!(n-1)=(n-1)!\sum_{m=0}^{n-1}\frac{(-1)^{m}}{m!}\sim\frac{(n-1)!}{e})
[math]=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(z-1)^{n}(n-1)!}!(n-1)-коэффициенты ряда Лорана имеют компактную форму, но с применением субфакториалов

[zykov]

Единственное, там полюс в [math]w=-1, так что ряд Тэйлора расходится вне круга радиуса 1.
Это в отличии от экспоненты, где сходится везде до самой бесконечности.

[Ian]

Единственное, там полюс в [math]w=-1, так что ряд Тэйлора расходится вне круга радиуса 1.
Это в отличие от экспоненты, где сходится везде до самой бесконечности.

Так по определению, ряды Лорана пишутся в кольцах, частные случаи которых и внешность круга, и проколотый круг. Так вот в {|w|>1} разложение другое, с положительными и отрицательными степенями, и с коэффициентами тоже через субфакториалы. И в общем случае все виды особых точек лежат на границах колец

[zykov]

Source of the post Так вот в {|w|>1} разложение другое,

А как его там искать?
Ряд Тэйлора уже не подходит.

[Ian]

Все равно перемножаются ряды в той области где оба сходящиеся
При [math]|z-1|<1
[math]\frac{1}{\text{z}}e^{\frac{1}{z-1}}=\left(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{m!(z-1)^{m}}\right)\left[\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}(z-1)^{k}\right]=
[math]=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(z-1)^{n}}\sum_{m-k=n-1,k\geq0}\frac{(-1)^{n-1-m}}{m!}+\sum_{n=1}^{\infty}(z-1)^{n}\sum_{k-m=n-1,k\geq0}\frac{(-1)^{n-1-m}}{m!}=
[math]=1+\frac{e^{-1}}{z-1}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(z-1)^{n}}\left[e^{-1}-\sum_{m=0}^{n-2}\frac{(-1)^{m}}{m!}\right]+e^{-1}(z-1)+\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}(z-1)^{n}\left[e^{-1}-\sum_{m=0}^{n-2}\frac{(-1)^{m}}{m!}\right]=
[math]=\sum_{n=2}^{\infty}(-1)^{n-1}(z-1)^{n}\left[e^{-1}-\frac{!(n-2)}{(n-2)!}\right]+e^{-1}(z-1)+1+\frac{e^{-1}}{z-1}+\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(z-1)^{n}}\left[e^{-1}-\frac{!(n-2)}{(n-2)!}\right]