К Новому году в самый раз по сложности

[Ian]

От школьника до преподавателя вуза

Докажите неравенство [math]\sin x+1-\cos x\geq x,\;0\leq x\leq\frac{\pi}{2}

[peregoudov]

А что тут особо доказывать? --- очевидно. Интегрируем по x.

[Ian]

Спасибо, у Вас красиво, Вы в хорошей форме даже в 22.45. У меня есть два других доказательства, одно из них школьное, а до такого не догадался.

[Ian]

Я все-таки напишу школьные 2 способа.
Точки (0,0) и ([math]\cos x,\sin x) соединим тремя способами: 1) по дуге длины [math]x , 2) ломаной через точку ([math]1,\sin x) , 3) прямолинейным отрезком. Кривая 1 является объемлемой по отношению к 2, так как целиком заключена в площади, ограниченной 2 и 3, а 2 -объемлющей. Если объемлемая выпукла, то ее длина не больше длины объемлющей (теорема, у нас в школе это было), [math]x\leq \sin x+1-\cos x
Или (чтобы без теоремы), можно посчитать удвоенные площади, ограниченные радиусами и кривыми 2 и 1
[math](1-\cos x)+\sin x\geq (1-\cos x)\sin x+\sin x\geq x (удвоенная площадь сектора)