Ian писал(а):Source of the post Вы можете, как начали с верных неравенств, так неравенствами и довести до оценки точности определения f(1/2)?
В принципе можно, но долго выйдет.
Идея там такая:
При маленьком дельта мы знаем
[math]f(x) с точностью
[math]C_1 \delta^3, т.е. её значение зажато неравенством в таком малом диапазоне.
Когда берём
[math]\phi^{-1}(f(x)), то результат будет зажат в новом диапазоне, размер которого равен старому размеру умноженному на производную
[math]\phi^{-1}(x) в точке
[math]f(x). Это стандартный момент, при анализе вычислительной ошибки так и делают, ограничиваясь только этим.
Это не строгое соотношение, т.к. тут только линеаризация. При желании можно получить строгое неравенство с учётом нелинейности. Т.к. нелинейность мала, то это можно сделать в форме коэффициента чуть больше единицы. Тут ничего сложного - чисто технический момент.
Потом делаем ещё такой шаг и так далее. Получим произведение производных взятых в точках
[math]f(x), \; \phi^{-1}(f(x)), \; \phi^{-2}(f(x)), \; ..., \; \phi^{-(n-1)}(f(x)).
Точки поначалу идут примерно как
[math]1-\frac{1}{n} (опять для строгости нужно какие-то коэффициенты вводить).
Производная
[math]\phi^{-1}(x) равна
[math]\frac{1}{2\sqrt{x-\frac34}}=\frac{1}{2\sqrt{\frac14-\delta}}=1+2\delta+6\delta^2+...Т.е. нужно найти произведение
[math](1+\frac{2}{n})(1+\frac{2}{n-1})(1+\frac{2}{n-2})...(1+\frac{2}{3}), которое примерно даст насколько начальный интервал раздулся после всех этих трансформаций.
Это произведение примерно равно
[math]n^2.
Т.е. изначальный интервал раздуется из
[math]\delta^3 в
[math]\delta^{-2} раз (там ещё будут фиксированные множители независящие от
[math]n) и итоговый интервал останется малым.
В строгих неравенствах, чтобы учесть все нелинейности - это на несколько страниц.
Но результат будет тот же. Вместо единицы в
[math]\delta^1 будет степень чуть меньше 1. И какой-то кожффициент фиксированный появится.