Определитель из ШАД
Добавлено: 10 авг 2022, 10:09
Ian
- IMG_20220807_190418_753.jpg (22.33 KiB) 3695 просмотра
Вообще-то это выражение (небрежно названное "определитель") представляет собой целое число, только когда n или n-1 делится на 8. Тем не менее задача корректна и ответ нетривиальный, респект автору
Определитель из ШАД
Добавлено: 10 авг 2022, 13:52
zykov
Если обозначить [math]a_k=(k+1)^2-1=k(k+2) и вычесть из каждого столбца кроме первого предыдущий столбец, то матрица проще будет.
Первая строка [math]a_1+1, -a_1, дальше нули. Вторая строка [math]1, a_2, -a_2, дальше нули. И т.д.. Последняя строка [math]1,0,...,0,a_n.
Детерминант этой матрицы равен [math]D=(a_1+1) D_1+a_1 D_2, где [math]D_1 - детерминант минора с 2 по n (треугольная матрица, [math]D_1=a_2 a_3 ... a_n), [math]D_2 - детерминант минора кроме первой строки и вторго столбца. Для [math]D_2 по индукции можно показать, что это симметричный многочлен от [math]a_2,...,a_n порядка [math]n-2.
Значит [math]D=\left(\prod a_k \right) \cdot \left(1+\sum\frac{1}{a_k} \right).
[math]\prod a_k = \prod_{k=1}^n k(k+2)=\frac12 (n+1)(n+2)(n!)^2
[math]\sum\frac{1}{a_k} = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k(k+2)} = \frac12 \sum_{k=1}^n(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2})=\frac12(1+\frac12-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2})
Отсюда [math]D/(n!)^2=\frac{7n^2+17n+8}{8}.
Для [math]n=1984 будет 3448441. Остаток от деления на 1982 будет 1743.
Определитель из ШАД
Добавлено: 10 авг 2022, 15:18
Ian
Действительно, у Вас проще, ответ тот же, спасибо
Определитель из ШАД
Добавлено: 10 авг 2022, 18:35
zykov
zykov писал(а):Source of the post Детерминант этой матрицы равен
[math]D=(a_1+1)D_1+a_1D_2,
Можно даже немного прозрачнее сделать. Разложить первый столбец на сумму двух столбцов - "все единицы" и "все нули кроме первого, где
[math]a_1".
Второй детерминант - симметричный многочлен порядка
[math]n по всем
[math]a_i, т.е. просто произведение всех
[math]a_i.
Первый детерминант - аналогично
[math]D_2, по индукции, симметричный многочлен порядка
[math]n-1 по всем
[math]a_i.