Функционально-дифференциальное уравнение

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Функционально-дифференциальное уравнение

Сообщение Ian » 07 авг 2022, 16:10

IMG-20220807-WA0004.jpg
IMG-20220807-WA0004.jpg (33.77 KiB) 7042 просмотра

Напрашивается [math] но не удовлетворяет всем ограничениям. С другой стороны, есть длинное рассуждение, приводящее к тому что коэффициенты ряда Тейлора для f(x) должны быть похожи на коэффициенты такого синуса. Так может, в условии ошибка и решений нет?

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Функционально-дифференциальное уравнение

Сообщение zykov » 07 авг 2022, 16:36

Подходит [math], но [math].

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Функционально-дифференциальное уравнение

Сообщение zykov » 07 авг 2022, 16:55

Ещё гиперболический синус подходит.
Вопрос, как их совместить. Линейно не выходит, т.к. [math] нелинейно.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Функционально-дифференциальное уравнение

Сообщение Ian » 07 авг 2022, 17:52

Вот выкладка. очевидно, что f нечетная,
пусть
[math]
в том смысле что где бы ни обрезать этот ряд, равенство вплоть до о малой
[math]
[math]
[math]
-при любых N,M
Это по индукции означает равенство коэффициентов при каждой мультистепени
[math]
Введем
[math]
[math]
Уточняю тут
[math]
[math]
Последний раз редактировалось Ian 07 авг 2022, 18:16, всего редактировалось 1 раз.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Функционально-дифференциальное уравнение

Сообщение zykov » 07 авг 2022, 18:00

Глядя на ряд для [math] возникает гипотеза, что это семейство функций вида [math].
Здесь [math] - некоторый числовой параметр. [math] некоторая фиксированная функция, ряд который начинается как [math].
Т.е. [math] похожа на [math].

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Функционально-дифференциальное уравнение

Сообщение zykov » 07 авг 2022, 18:06

Вот такое семейство получается: [math]

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Функционально-дифференциальное уравнение

Сообщение Ian » 07 авг 2022, 18:23

У меня в ответе вышло однопараметрическое с параметром q семейство, включающее и синус и гиперсинус. Но как можно удовлетворить двум ограничениям подбором одного параметра. Думаю что автор задачи, спец по асимптотикам, где-то смазал в вычислениях. Это вот сюда принимали с такими задачами по математике https://data.vk.company/

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Функционально-дифференциальное уравнение

Сообщение zykov » 07 авг 2022, 18:33

Да, не сходится.
Либо [math], либо [math].
Но сразу двум не удовлетворяет.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Функционально-дифференциальное уравнение

Сообщение zykov » 07 авг 2022, 19:53

В случае синуса [math].
Если потребовать, что это отношение равно [math], то будет [math] и [math].
Тогда [math]. Но двух таких равенств не получается...

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Функционально-дифференциальное уравнение

Сообщение zykov » 07 авг 2022, 19:57

Наверно ошибка в условии.
Должно было быть [math].

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Функционально-дифференциальное уравнение

Сообщение zykov » 07 сен 2022, 22:31

zykov писал(а):Source of the post Либо [math], либо [math].
Кстати, есть ещё один вариант, если [math], то будет [math].

peregoudov
Сообщений: 620
Зарегистрирован: 29 дек 2015, 13:17

Функционально-дифференциальное уравнение

Сообщение peregoudov » 09 сен 2022, 15:18

Может быть, тут все проще предполагалось? Пусть $x=5$, $y\ll1$, тогда

$$ f(5)f(y)=\int_{5-y}^{5+y}f(t)\,dt=\int_{-y}^yf(5+t)\,dt=f(5)2y+f''(5)y^3\!/3+\ldots $$

и предел сразу выписывается? Без выписывания самой функции?

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Функционально-дифференциальное уравнение

Сообщение zykov » 09 сен 2022, 20:42

Но как найти [math] для этих двух условий, если никакая [math] не подходит?


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 9 гостей