Портал Естественных Наук, версия 1.1

Напрашивается [math]f(x)=C\sin ax но не удовлетворяет всем ограничениям. С другой стороны, есть длинное рассуждение, приводящее к тому что коэффициенты ряда Тейлора для f(x) должны быть похожи на коэффициенты такого синуса. Так может, в условии ошибка и решений нет?

Подходит [math]f(x) = 2\frac{\sin 2x}{\sin 10}, но [math]f''(5) = -8.

Ещё гиперболический синус подходит.
Вопрос, как их совместить. Линейно не выходит, т.к. [math]f(x)f(y) нелинейно.

Вот выкладка. очевидно, что f нечетная,
пусть
[math]f(x)\sim\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}x^{2n-1}
в том смысле что где бы ни обрезать этот ряд, равенство вплоть до о малой
[math]\left(\sum_{n=1}^{N}a_{n}x^{2n-1}\right)\left(\sum_{m=1}^{M}a_{m}y^{2m-1}\right)=\sum_{k=1}^{M+N}\frac{a_{k}}{2k}\left[(x+y)^{2k}-(x-y)^{2k}\right]+o\left(|x^{2N-1}y^{2M-1}|\right)
[math]xy\left(\sum_{n=1}^{N}a_{n}x^{2n-2}\right)\left(\sum_{m=1}^{M}a_{m}y^{2m-2}\right)=2xy\sum_{k=1}^{M+N}\frac{a_{k}}{2k}\sum_{n=1}^{N}C_{2k}^{2n-1}x^{2n-2}y^{2k-2n}+o\left(|x^{2N-1}y^{2M-1}|\right)
[math]\left(\sum_{n=1}^{N}a_{n}x^{2n-2}\right)\left(\sum_{m=1}^{M}a_{m}y^{2m-2}\right)=2\sum_{k=1}^{M+N}\frac{a_{k}}{2k}\sum_{n=1}^{N}C_{2k}^{2n-1}x^{2n-2}y^{2k-2n}+o\left(|x^{2N-2}y^{2M-2}|\right)
-при любых N,M
Это по индукции означает равенство коэффициентов при каждой мультистепени
[math]a_{N}a_{M}=\frac{a_{N+M-1}}{N+M-1}C_{2N+2M-2}^{2N-1}=2a_{N+M-1}\frac{(2N+2N-3)!}{(2N-1)!(2M-1)!}
Введем
[math]b_{k}=(2k-1)!a_{k}
[math]b_{N}b_{M}=2b_{N+M-1}
Уточняю тут
[math]b_{N}=2q^{N-1}
[math]f(x)=\sum_{N=1}^{\infty}\frac{2q^{N-1}x^{2N-1}}{(2N-1)!}

Глядя на ряд для [math]f(x) возникает гипотеза, что это семейство функций вида [math]f_a(x) = 2x+ax^3 r(\frac{ax^2}{2}).
Здесь [math]a - некоторый числовой параметр. [math]r(v) некоторая фиксированная функция, ряд который начинается как [math]r(v)=\frac{1}{6}+\frac{v}{120}+\frac{v^2}{5040}+\frac{v^3}{362880}+...=\frac{1}{3!}+\frac{v}{5!}+\frac{v^2}{7!}+\frac{v^3}{9!}+....
Т.е. [math]r(v) похожа на [math]\frac{\sinh(\sqrt v)-\sqrt v}{v^{3/2}}.

Вот такое семейство получается: [math]\frac{4\sinh(\sqrt\frac{a}{2}\,x)}{\sqrt{2a}} = \frac{2\sinh(b x)}{b}

У меня в ответе вышло однопараметрическое с параметром q семейство, включающее и синус и гиперсинус. Но как можно удовлетворить двум ограничениям подбором одного параметра. Думаю что автор задачи, спец по асимптотикам, где-то смазал в вычислениях. Это вот сюда принимали с такими задачами по математике https://data.vk.company/

Да, не сходится.
Либо [math]\frac{2 \sinh(bx)}{b}, либо [math]\frac{2 \sin(bx)}{b}.
Но сразу двум не удовлетворяет.

В случае синуса [math]f''(x)/f(x)=-b^2.
Если потребовать, что это отношение равно [math]-72/2, то будет [math]b^2=36 и [math]b=\pm 6.
Тогда [math]f(x)=\frac13 \sin 6x. Но двух таких равенств не получается...

Наверно ошибка в условии.
Должно было быть [math]f''(5)/f(5)=-36.

zykov писал(а):Source of the post Либо [math]\frac{2\sinh(bx)}{b}, либо [math]\frac{2\sin(bx)}{b}.

Кстати, есть ещё один вариант, если [math]b \to 0, то будет [math]f(x)=2x.

Может быть, тут все проще предполагалось? Пусть , , тогда



и предел сразу выписывается? Без выписывания самой функции?

Но как найти [math]f(x) для этих двух условий, если никакая [math]f(x) не подходит?