Стереометрия из дви мгу

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Стереометрия из дви мгу

Сообщение Ian » 19 июл 2022, 07:34

sp.png
sp.png (229.25 KiB) 4507 просмотра

Казалось бы, зачем эта первая фраза про сферу, такая сфера существует всегда, и что это дает. Однако, мне кажется , она играет роль подсказки. Мне хочется дать этой задачке какой-нибудь приз за красоту, хотя и не сложная, но неожиданная, например числа не зра так подобраны, они обеспечивают единственность ответа.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Стереометрия из дви мгу

Сообщение zykov » 19 июл 2022, 12:33

Ian писал(а):Source of the post такая сфера существует всегда
Разве?
Вот возьмём треугольник [math]. У него есть единственная вписанная окружность с центром [math].
Если провести перпендикуляр к [math] через [math], то любая точка этой линии будет центорм некоторой сферы касающейся всёх трёх рёбер [math]. Но вообще говоря, эти сферы как правило не будут касаться рёбер из [math]. Какая-то (или какие-то) из этих сфер будут например касаться ребра [math], но при это в общем случае они не будут касаться рёбер [math] и [math].
Так что это особый тетраэдр, у которого есть такая сфера.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Стереометрия из дви мгу

Сообщение zykov » 19 июл 2022, 12:53

Если взять точки касания на рёбрах, то расстояние от вершины до этих точек на трёх рёбрах выходящих из этой вершины равны.
Т.е. будет всего 4 степени свободы: [math].
Так что например [math].
Есть две связи [math] и ещё два условия [math].
Остаётся только решить алгебраическую систему.

Maxima выдаёт два ответа:
[math]
Один: [math]
Второй: [math]

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Стереометрия из дви мгу

Сообщение zykov » 19 июл 2022, 12:57

Если отбросить первый вариант, т.к. там [math], что значит что точка касания не внутри отрезка ребра, а на него продолжении, то останется только [math].

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Стереометрия из дви мгу

Сообщение Ian » 19 июл 2022, 14:43

Действительно, сфера существует не всегда. А в остальном у меня точно такое же решение. Спасибо!
Только решение АС=1 отбрасывается потому, что нарушится неравенство треугольника АС+BC>AB

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Стереометрия из дви мгу

Сообщение Ian » 19 июл 2022, 15:00

zykov писал(а):Так что это особый тетраэдр, у которого есть такая сфера.
Это просто тетраэдр, у которого суммы противоположных ребер для каждой пары одинаковы (в наших обозначениях [math] ). А раз и произведения одинаковы, то это одни и те же пары. Во всех вариантах получается правильная пирамида с ребрами 1,1,1,3,3,3 а одна из них не существует, значит остается другая.
И раз существует более простое решение,чем наше , то приз за красоту это слишком, но неожиданность имела место


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 10 гостей