Портал Естественных Наук, версия 1.1

https://en.wikipedia.org/wiki/Borel_distribution
[math]P(X=n)=\frac{e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{n!},\;n\in N
Но как хотя бы доказать, что [math]\sum_{n=1}^{\infty}P(X=n)=1 при любом [math]0<\mu <1 ?
Численные эксперименты показывают, что это действительно так

На stackexchange писали, что можно получит через ряд для Lambert W function.

zykov писал(а):... через ряд для Lambert W function.

этот ряд доказан здесь https://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange_ ... W_function
И дальше
[math]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{n!}=\frac{1}{\mu}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\mu e^{-\mu}\right)^{n}\frac{n^{n-1}}{n!}=-\frac{1}{\mu}W\left(-\mu e^{-\mu}\right)=-\frac{1}{\mu}\cdot(-\mu)=1
где W-функция Ламберта [math]-\mu e^{-\mu}=t>-e^{-1},\quad W(t)=-\mu
------
Тогда уж короче путь - взять вероятностную модель приводящую к этому распределению, и раз формула для вероятностей такая, их сумма равна 1 . Только вот я не разобрался, в чем модель

Я тоже особо не вникал. Что-то про ветвящийся процесс.
Но подозреваю, что сам вывод формулы вероятности там тоже не прост.