Страница 1 из 1
Олимпиада "профессионал"
Добавлено: 02 апр 2022, 20:54
Ian
5. Найти
[math]\lim_{t\to 0}\int_0^{\infty}\frac{\sin\frac x2}{(1+tx)^{20}}dx
Олимпиада "профессионал"
Добавлено: 03 апр 2022, 09:55
Albus
Два
Олимпиада "профессионал"
Добавлено: 03 апр 2022, 13:00
zykov
[math]\lim_{t\to 0}\int_0^{\infty}\frac{\sin\frac x2}{(1+tx)^{20}}\;dx = 2 \lim_{t\to 0}\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{(1+tx)^{20}}\;dx
Далее, если на уровне размахивания руками (как в физике обычно делают), будет [math]\frac{\sin x}{(1+tx)^{20}} = f_t(x) \sin x, где [math]f_t(x) при малых [math]t медленно меняется на периоде синуса. Значит её среднее значение зануляется осциляцией и роль играет первая производная.
К примеру [math]\int_0^{2\pi}\sin x \cdot k \cdot (\pi - x)\;dx = 2\pi k.
Значит, размахивая руками получаем, что предел интеграла [math]\int_0^{\infty}f_t(x) \sin x\;dx равен [math]\int_0^{\infty}-f_t'(x) \;dx=f_0(0)-f_0(\infty)=1-0. Значит исходный интеграл равен 2.
(Для строгости нужно показать что пределы следующих поправок равны нулю. Наверно просто по частям взять.)
Олимпиада "профессионал"
Добавлено: 03 апр 2022, 14:45
Ian
как-то это все не очень радует. Остальные -то задачи (10 штук) там были на 10 минут максимум
Смутно помню лемму имени кого-то: если f непрерывно монотонно убывает к 0, то [math]\lim_{t\to 0}\int_0^\infty f(tx)\sin xdx=f(0)
Но это сейчас вспомнил, когда вы показали ответ. Найти ее в литературе, и возможно - лучшего решения (опирающегося на какие-то конкретные свойства f) и не существует
Олимпиада "профессионал"
Добавлено: 04 апр 2022, 17:55
zykov
Если по частям делать, то будет
[math]\int_0^{\infty}\frac{\sin x}{(1+tx)^{20}}\;dx = \frac{-\cos x}{(1+tx)^{20}}\bigg|_0^{\infty} - \int_0^{\infty}\frac{20 t \cos x}{(1+tx)^{21}}\;dx = 1 - 20 t \int_0^{\infty}\frac{\cos x}{(1+tx)^{21}}\;dx
Показать, что последний интеграл при маленьких [math]t ограничен, и тогда после умножения на [math]t второе слагаемое стремится к нулю.
Олимпиада "профессионал"
Добавлено: 05 апр 2022, 08:21
Ian
Ian писал(а):лемму имени кого-то: если f непрерывно монотонно убывает к 0, то [math]\lim_{t\to 0}\int_0^\infty f(tx)\sin xdx=f(0)
В такой формулировке лемма неверна, недоглядел: если взять f близкой к ступенчатой функции, постоянной на отрезках длины пи, то для этой ступенчатой по 1/t нечетным один предел, а по 1/t четным предел 0. Значит, в лемме надо потребовать еще и монотонность производной f', т.е. выпуклость.
Так и после преобразования Зыкова, существенно,что производная монотонна по х при всяком t.
Олимпиада "профессионал"
Добавлено: 10 апр 2022, 09:50
Ian
Сразу общий случай(в последних условиях леммы)
[math]\int_0^{\infty}\sin x\cdot f(tx)dx = -\cos x\cdot f(tx)\bigg|_0^{\infty} + t\int_0^{\infty}\cos x\cdot f'(tx)\;dx =f(0)+tO(1)
[math]\int_{\pi/2}^{\infty}\cos x\cdot f'(tx)dx=\sum_{n=0}^{\infty}f'(\xi_{i})\int_{\pi/2+\pi n}^{3\pi/2+\pi n}\cos xdx=
[math]=2\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}f'(\xi_n)\in (0;-2f'(\pi /2)]
ограничен, из монотонности последовательности [math]f'(\xi_n),\xi_n\in (t\pi/2+t\pi n,3t\pi/2+t\pi n)