олимпиада СПбГУ для 11кл

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

олимпиада СПбГУ для 11кл

Сообщение Ian » 14 фев 2022, 14:42

Было по 5 задач в нескольких, существенно отличных, вариантах, и некоторые я не знаю как решить. Вот например (вольный пересказ):

7 точек соединены отрезками так, что получился выпуклый 7-угольник. Для некоторых натуральных n может существовать расстановка 7 натуральных чисел в 7 вершинах, так, чтобы: 1) для любой пары точек, соединенных отрезком , разность двух чисел в их концах не является взаимно простым с n; 2) для любой пары точек, не соединенных отрезком, разность двух чисел в их концах является взаимно простым с n
Для какого наименьшего n это возможно?

Или еще одна: У параллелепипеда a*b*c (a,b,c натуральные) выбраны три грани, примыкающие к одной вершине. Нарезано много бумажных полосок 3*1, которые можно сгибать при наклеивании только по любой из двух линий, отделяющих квадратики 1*1. При каких a,b,c эту поверхность из 3 граней можно оклеить плотно и без наложений полосками, возможно сгибая их при переходе через ребро?

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

олимпиада СПбГУ для 11кл

Сообщение zykov » 14 фев 2022, 18:37

Ian писал(а):Source of the post У параллелепипеда a*b*c (a,b,c натуральные) выбраны три грани,
Думаю, только если все три числа делятся на 3.
Из делимости на 3 для [math] следует, что все три числа должны иметь одинаковые остатки при делении на 3.
Например, если [math] или [math], то решений нет.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

олимпиада СПбГУ для 11кл

Сообщение zykov » 14 фев 2022, 22:15

zykov писал(а):Source of the post Думаю, только если все три числа делятся на 3.
Нет, любые два делятся на 3.
zykov писал(а):Source of the post Из делимости на 3 для ab+ac+bc следует, что все три числа должны иметь одинаковые остатки при делении на 3.
все три имеют остатки 1 или 2, или хотя бы два имеют остатки 0

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

олимпиада СПбГУ для 11кл

Сообщение Ian » 14 фев 2022, 23:07

zykov писал(а):все три имеют остатки 1 или 2, или хотя бы два имеют остатки 0

я согласен, что это необходимо. Но удивительно, что если все остатки 1, или все остатки 2, решений тоже нет

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

олимпиада СПбГУ для 11кл

Сообщение zykov » 15 фев 2022, 00:10

Когда два остатка 0 - там очевидно. Просто замостить каждый прямоугольник без перегибов.
Для значений 1 и 2 - тоже очевидно не получится.

Для больших значений, когда все остатки 1 или все 2 - тут да, как-то пока не ясно.
Мне кажется, там от угла плясать надо. Наверно в углу какие-то проблемы.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

олимпиада СПбГУ для 11кл

Сообщение Ian » 15 фев 2022, 08:08

Для плоских фигур и полосок 3*1 обычно применяется трехцветная раскраска клеток, три диагонали , цвета циклически чередуются. Полоска обладает тем свойством, что каждого цвета в ней поровну.Значит, при раскраске (а есть два способа , как направить диагонали) всех цветов должно быть поровну, и если это выполняется, то кроме особо экзотических фигур , на практике замощение выводится.Здесь это тоже может помочь, но нет раскраски, при которой свойство полоски будет выполняться всегда.
Вот пример доказательства, что 4*4*4 невозможно. Будем раскрашивать развертку поверхности. При одном направлении диагоналей цвета распределятся 17+16+15, значит обязана быть полоска, пересекающая разрез и значит содержащая эти цвета 2+1+0, места для нее можно указать, их даже два.Или разрез пересекается сразу в 4х местах. Но посмотрим другое направление диагоналей, цветов оказывается поровну, 16+16+16, и значит полосок, пересекающих разрез, не должно быть, либо сразу три, разные по распределению цветов. И тут противоречие очевидно. Как бы обобщить.


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 10 гостей