Делимость на 7

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Делимость на 7

Сообщение zykov » 12 янв 2022, 13:43

Вот, расширил список, насколько смог.

Код: Выбрать все

7^1:  3
7^2:  21        = 3 7^1
7^3:  147       = 3 7^2
7^4:  1029      = 3 7^3
7^5:  7203      = 3 7^4
7^6:  50421     = 3 7^5
7^7:  352947    = 3 7^6
7^8:  2470629   = 3 7^7
7^9:  17294403  = 3 7^8
7^10: 121060821 = 3 7^9

7^1  379: 189      = 3^3 7^1
7^2  379: 189      = 3^3 7^1
7^3  379: 1323     = 3^3 7^2
7^4  379: 9261     = 3^3 7^3
7^5  379: 64827    = 3^3 7^4
7^6  379: 453789   = 3^3 7^5
7^7  379: 3176523  = 3^3 7^6
7^8  379: 22235661 = 3^3 7^7

7^1  379^2: 71631    = 3^3 379 7^1
7^2  379^2: 71631    = 3^3 379 7^1
7^3  379^2: 501417   = 3^3 379 7^2
7^4  379^2: 3509919  = 3^3 379 7^3
7^5  379^2: 24569433 = 3^3 379 7^4

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Делимость на 7

Сообщение zykov » 18 янв 2022, 20:55

Спрашивал про эту задачу на dxdy.
Там один участник написал:
Вообще, это довольно известный сюжет из олимпиадной теории чисел (см., например, Сендеров В., Спивак А. Задача 4493 // Математика в школе. 2000. № 3. С. 74). В решении используется принцип крайнего: нужно рассмотреть наименьший простой делитель числа n.

Пока решения не вижу. Может это сработает, а может он ошибается.
Задачу нашел в pdf IMO 1999 (на dxdy её тоже немного обсуждали):
imon1999_21.png
imon1999_21.png (53.85 KiB) 3968 просмотра

Если правильно понимаю, имеется ввиду Proof by infinite descent.
Через него например доказывают иррациональность корней или теорему Ферма для степени 4 или для степени 3.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Делимость на 7

Сообщение zykov » 19 янв 2022, 01:59

На dxdy помогли разобраться с доказательством.
Ключевой пункт там - следствие малой теоремы Ферма: если [math] и [math], то [math].
Вобщем, порядок [math] по модулю [math] больше 1 и оба числа, [math] и [math], делятся на этот порядок.

В нашем случае, сумма степеней очевидно не делится на 2 и на 3. Значит [math] не делится на 2 и на 3.
Сумма степеней делится на 5 только если [math]. Но подходящий [math] нечётный, значит этот [math] не делится на 5.

Пусть подходящее [math], где [math] - наименьший простой делитель [math]. Предположим, что [math].
Тогда по модулю [math] будет [math].
По малой теореме Ферма будет [math] и [math], значит [math].
Числа [math] и [math] взаимно простые, значит есть такой [math] по модулю [math].
Тогда [math]. Если [math] - простое больше 7, то [math].
(Т.к. если [math], то [math], значит [math].)
Получается, что [math] делится на делитель [math], который меньше [math]. Противоречие.
Значит наименьший простой делитель $n$ равен 7.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Делимость на 7

Сообщение Ian » 19 янв 2022, 09:27

Браво. Теория чисел вообще глубоко ушла, кто вдвое больше знает теорем тот вчетверо больше и задач решит

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Делимость на 7

Сообщение zykov » 20 янв 2022, 00:06

Кстати, это всё обобщается на [math], где [math] простое число.
[math] и [math] взаимно простые. Так что одно из них будет обратимо по модулю [math].
Чтобы не иметь проблем с чётной степенью минус единицы, можно сразу заметить, что при [math] одно слагаемое чётно, другое нечётно, значит сумма степеней нечётна и значит подходящее [math] нечётно.
Случай [math] тривиален. Возможно только [math], т.е. подходит только одно [math], которое делится на 2.


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 4 гостей