Любопытные задачки сейчас преподают в вшэ. Дан линейный оператор [math] ранга 3, заданный в некоторых ортогональных базисах конкретной матрицей 3*4. Нужно найти такой оператор [math] ранга 2, чтобы [math]
Причем норма в пространстве операторов из данного Х в данное Y определяется, как вы знаете, сложно, как
[math]
Что тут делать в случае с невырожденными матрицами 3*3, ясно. Образ единичной сферы это некоторая поверхность эллипсоида с центром в нуле. Образ оператора [math] по-любому плоскость. Значит, оптимальная плоскость натянута на две наибольших полуоси эллипсоида, Переводим матрицу А в собственный базис и там проще решать. Минимум равен длине наименьшей полуоси (но не обязательно наименьшему модулю собственного числа? Ведь собственные векторы не обязательно ортогональны)
В нашем случае [math] образ единичной сферы это весь эллипсоид с центром в нуле. Образ оператора [math] по-прежнему плоскость. Значит часть ответа известна, остальное подобрать. Но как это алгоритмизировать с помощью собственных чисел чего-то?
Регрессия в пространстве матриц
Регрессия в пространстве матриц
Да это на все похоже, псевдообратные матрицы https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_inverse они искали за месяц до этого. Но так как там никогда математический аппарат не сложнее 2го курса мгу (хоть и понятия шире) предлагаю просто решить а не въезжать в путаную историю вопроса
Регрессия в пространстве матриц
Да, собственные числа/вектора тут не нужны.Ian писал(а):Source of the post (но не обязательно наименьшему модулю собственного числа? Ведь собственные векторы не обязательно ортогональны)
Тут нужен SVD или Polar decomposition (через который можно тот же SVD получить).
Для матрицы [math] делаем SVD: [math]. Матрицы [math] и [math] унитарны, матрица [math] прямоугольная 3x4, диагональная, с положительными действительными числами на диагонали. Зануляем в [math] наименьший положительный элемент, умножаем обратно и получаем [math].
Регрессия в пространстве матриц
Я это к чему говорил -есть формула [math]
Доказательство: [math]
Ну а вдруг D не диагональная выйдет а жорданова клетка
Доказательство: [math]
Ну а вдруг D не диагональная выйдет а жорданова клетка
Регрессия в пространстве матриц
Не может.Ian писал(а):Source of the post Ну а вдруг D не диагональная выйдет а жорданова клетка
Там матрица [math] (или [math]) к диагональному виду поворотом приводится. Жордановых клеток там быть не может.
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 4 гостей