Регрессия в пространстве матриц

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Регрессия в пространстве матриц

Сообщение Ian » 08 дек 2021, 11:26

Любопытные задачки сейчас преподают в вшэ. Дан линейный оператор [math] ранга 3, заданный в некоторых ортогональных базисах конкретной матрицей 3*4. Нужно найти такой оператор [math] ранга 2, чтобы [math]
Причем норма в пространстве операторов из данного Х в данное Y определяется, как вы знаете, сложно, как
[math]
Что тут делать в случае с невырожденными матрицами 3*3, ясно. Образ единичной сферы это некоторая поверхность эллипсоида с центром в нуле. Образ оператора [math] по-любому плоскость. Значит, оптимальная плоскость натянута на две наибольших полуоси эллипсоида, Переводим матрицу А в собственный базис и там проще решать. Минимум равен длине наименьшей полуоси (но не обязательно наименьшему модулю собственного числа? Ведь собственные векторы не обязательно ортогональны)
В нашем случае [math] образ единичной сферы это весь эллипсоид с центром в нуле. Образ оператора [math] по-прежнему плоскость. Значит часть ответа известна, остальное подобрать. Но как это алгоритмизировать с помощью собственных чисел чего-то?

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Регрессия в пространстве матриц

Сообщение zykov » 08 дек 2021, 11:57

Похоже на Principal component analysis.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Регрессия в пространстве матриц

Сообщение Ian » 08 дек 2021, 16:36

Да это на все похоже, псевдообратные матрицы https://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_inverse они искали за месяц до этого. Но так как там никогда математический аппарат не сложнее 2го курса мгу (хоть и понятия шире) предлагаю просто решить а не въезжать в путаную историю вопроса

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Регрессия в пространстве матриц

Сообщение zykov » 09 дек 2021, 04:06

Ian писал(а):Source of the post (но не обязательно наименьшему модулю собственного числа? Ведь собственные векторы не обязательно ортогональны)
Да, собственные числа/вектора тут не нужны.
Тут нужен SVD или Polar decomposition (через который можно тот же SVD получить).

Для матрицы [math] делаем SVD: [math]. Матрицы [math] и [math] унитарны, матрица [math] прямоугольная 3x4, диагональная, с положительными действительными числами на диагонали. Зануляем в [math] наименьший положительный элемент, умножаем обратно и получаем [math].

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

Регрессия в пространстве матриц

Сообщение Ian » 09 дек 2021, 11:03

Я это к чему говорил -есть формула [math]
Доказательство: [math]
Ну а вдруг D не диагональная выйдет а жорданова клетка

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

Регрессия в пространстве матриц

Сообщение zykov » 09 дек 2021, 11:10

Ian писал(а):Source of the post Ну а вдруг D не диагональная выйдет а жорданова клетка
Не может.
Там матрица [math] (или [math]) к диагональному виду поворотом приводится. Жордановых клеток там быть не может.


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 12 гостей