для 10-го класса

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

для 10-го класса

Сообщение Ian » 05 дек 2021, 21:45

4.png
4.png (56.68 KiB) 8567 просмотра

5.jpg
5.jpg (71.67 KiB) 8567 просмотра

Олимпиада для 10-го класса сегодня была

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

для 10-го класса

Сообщение zykov » 05 дек 2021, 23:30

Для задачи на максимум произведения - может есть какое-то более красивое олимпиадное решение.
Но можно так: [math]
С другой стороны [math].
Т.к. [math] и [math], то [math] максимален при [math].
Тогда при [math] будет [math] и значит [math].
Значит максимум будет при [math], т.е. [math].
Сам максимум очевидно равен [math].

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

для 10-го класса

Сообщение zykov » 06 дек 2021, 00:55

По конфетам, пусть всего было съедено [math] конфет.
Тогда первый съел [math] конфет.
Третий съел [math] конфет.
Последний съел [math] конфет.
Три числа (17, 23, 24) попарно взаимно простые. Значит [math], где [math].
Второй съел количество в диапазоне [math].
Значит сумма с четвёртого по предпоследнего [math] будет в диапазоне [math] и все [math] здесь разные в диапазоне [math].
Сразу видно, что [math] не подходит - сумма всех 16 слишком мала.

Заметим, что [math] и [math] (можно просто показать что первый от 18 до 19, второй от 19 до 20).
Значит количество участников с [math] по [math] может быть только 19.
Т.е. всего их будет 23.

Довольно очевидно, что при больших [math] всегда можно подобрать 19 разных чисел из нужного диапазона, чтобы сумма попала в нужный диапазон.
Даже при [math] сумма всех 19 подряд от 783 до 801 равна 15048, что в диапазоне от 14963 до 15249.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

для 10-го класса

Сообщение Ian » 06 дек 2021, 08:58

zykov писал(а):Для задачи на максимум произведения - может есть какое-то более красивое олимпиадное решение.
Но можно так: [math]
С другой стороны [math].
Т.к. [math] и [math], то [math] максимален при [math].
Тогда при [math] будет [math] и значит [math].
Значит максимум будет при [math], т.е. [math].
Сам максимум очевидно равен [math].
Да у меня тоже такое решение. Разбить произведение на что-то типа C(A+D)(B-D-ky) чтобы сумма скобок убывала с ростом у и не зависела от остальных переменных, тогда произведение максимально при y=0 и равенстве сомножителей. Но почему именно у - только при нем окажется коэффициент отрицательный и значит надо вообще говоря три попытки потратить

Другая задача поразила меня тем, что количество то находится,23. но чтобы условие не было в дробях, всего конфет было 18768 а победитель съел 1104 -чему детей учат

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

для 10-го класса

Сообщение Ian » 06 дек 2021, 09:11

2.jpg
2.jpg (81.53 KiB) 8555 просмотра

Вот еще про шарики. Формулировка мутная, пояснениями не располагаю...

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

для 10-го класса

Сообщение Ian » 06 дек 2021, 10:13

Или вот еще. Мне кажется легкая и с некоторой избыточностью условий, но как модифицировать условия я еще не знаю
7.png
7.png (193.15 KiB) 8553 просмотра

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

для 10-го класса

Сообщение zykov » 06 дек 2021, 10:27

Про шарики, я так понимаю, что эти два условия накалывают ограничение на красные шары в позициях с одной чётностью - чётные номера или нечётные номера. Т.к. всего 42 - чётное, то после прохода круга чётность не изменится.
Если есть где-то красный шар, то с одной его стороны следующий (той же чётности) тоже будет красный, а с другой стороны будет красный через 1.
Тогда, если нет подряд красных, то идёт по циклу паттерн "к-с-к-с-с-с". Тогда всего красных шаров [math].
Если есть подряд два красных, то одновременно будет такой паттерн в чётных и нечётных. Чётные и нечётные никак не конфликтуют между собой. Тут два варианта паттерна - "к-к-к-к-с-с" или "к-с-к-к-с-к". Тогда всего красных шаров [math].

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

для 10-го класса

Сообщение Ian » 06 дек 2021, 10:58

Да, про шарики ответы такие же, там спрашивали только ответы. Но надо вопрос б) сформулировать так: пусть разрешается быть рядом красным шарикам. А не : только двум разрешается быть рядом, таких конструкций просто нет

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

для 10-го класса

Сообщение zykov » 06 дек 2021, 19:48

Ian писал(а):Source of the post А не : только двум разрешается быть рядом
Там написано, что "существует два красных рядом". Т.е. не обязательно только одна такая пара, их может быть много (и есть много). Если написать "разрешается", то останется вариант, что не существует такой пары.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

для 10-го класса

Сообщение zykov » 06 дек 2021, 20:09

Про остров.
Рассмотрим пару жителей.
Если оба рыцари, то они друг друга называют рыцарями.
Если один лжец, а другой рыцарь, рыцарь лжеца обязательно назовёт лжецом, а лжец рыцаря может назвать как угодно.
Два лжеца могут назвать друг друга как угодно.

Т.е. если есть пара, где один другого назвает лжецом, а другой первого называет рыцарем, то этот другой точно лжец.
(Если называют "рыцарь-рыцарь", то непонятно - могут быть два рыцаря или два лжеца. Если называют "лжец-лжец", то тоже непонятно - могут быть два лжеца, может быть рыцарь-лжец или лжец-рыцарь.)
Плюс, когда у нас есть список гарантированных лжецов, то если кто-то называет такого лжеца рыцарем, то он сам лжец.

Отсюда алгоритм - ищем перебором пары жителей к которым можно применить и добавляем их в список гарантированных лжецов. Так же со вторым правилом. Если не можем найти, то заканчиваем. Закончим за конечное количество шагов, т.к. каждый раз, если нашелся кто-то, то его добавляем в список, а количество конечно.
В итоге получим симметричную матрицу, где в любой паре либо оба друг друга называют рыцарями, либо оба называют лжецами. При этом каждый называет других рыцарями ровно 22 раза.

Наихудщий случай тут, если лжецы сгрупировались в группы по 23, так что внутри группы они называют друг друга рыцарями, а всех других лжецами (надо бы доказать это?). Такую группу не отличить от группы рыцарей. Таких групп может быть максимум [math]. В этих 8 группах будет 184 лжеца. Значит гарантированно можно определить [math] лжецов.

zykov
Сообщений: 1393
Зарегистрирован: 06 янв 2016, 17:41

для 10-го класса

Сообщение zykov » 06 дек 2021, 22:25

Ian писал(а):Source of the post Мне кажется легкая и с некоторой избыточностью условий, но как модифицировать условия я еще не знаю
Единственная избыточность, которую вижу - что лжец себя не называет лжецом. Но принципиально оно ничего не меняет. Если бы такие были, их бы сразу можно было бы добавить в список гарантированных лжецов.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

для 10-го класса

Сообщение Ian » 06 дек 2021, 23:24

Да, ответ такой же. Главное кого написавшие называют "может быть не лжецами", себя и еще 22 человек. 23 рыцаря подадут одинаковые списки. Алгоритм значит такой- разбиваем списки на классы одинаковых. Если в классе меньше 23 - написавшие их точно лжецы. В классе не может быть и больше 23. ведь никто не пишет себя. 16 точно не попадут в такой класс, А ровно 23 лжеца, подавшие одинаковые списки, неотличимы от рыцарей.
Как в это рассуждение можно внести изменение, что лжецы могут и себя написать - это надо обдумать, но Ваша идея хороша.

Аватар пользователя
Ian
Сообщений: 960
Зарегистрирован: 18 янв 2016, 19:42

для 10-го класса

Сообщение Ian » 07 дек 2021, 12:12

Ian писал(а): Алгоритм значит такой- разбиваем списки на классы одинаковых. Если в классе меньше 23 - написавшие их точно лжецы.

Если лжецы могут и себя написать -изменяется алгоритм
1.Кто написал себя тот лжец
2.Кто не написал его тоже лжец
3.Переход на пункт 2, если появились новые заведомые лжецы
4.Разбиваем списки, поданные не заведомыми лжецами, на классы одинаковых -вернулись к задаче в исходной формулировке но возможно с меньшим числом участников и настолько же меньшим априорным числом лжецов, и настолько же меньшей длиной списка.
-да, работает


Вернуться в «Математика»

Кто сейчас на форуме

Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 16 гостей