Портал Естественных Наук, версия 1.1

Наверно "длин всех хорд".
У меня вышло - площадь круга поделить на диаметр круга.

Достаточно рассмотреть только хорды перпендикулярные одному диаметру, т.к. из симметрии - для любого другого диаметра всё будет тоже самое.
Если эти хорды падают равномерно, то средняя длина будет:

Предлагалось такое решение. Статмоделирование не подтверждает его правильность.

zykov писал(а):Source of the post Достаточно рассмотреть только хорды перпендикулярные одному диаметру

Видимо этого недостаточно. Видимо какие-то хорды всё-таки не учитываются.

Не в этом дело.
Дело в том, как распределены случайные хорды.
Я тут имел ввиду, что просто бросаем случайно прямую на плоскость. Если она пересекает окружность, то считаем условное матожидание длины этой хорды. Если правильно провести статмоделирование этой ситуации, то всё сойдётся.

Но можно и другую трактовку предложить. Случайно бросают две точки на окружность и ищут матожидание длины этой хорды. Из симметрии, можно зафиксировать одну точку и бросать только вторую точку.
Тут тоже просто:

zykov писал(а):Source of the post Тут тоже просто:

Похоже на правду.

Есть доказательство, найти ошибку.
Вероятность того, что две произвольные хорды в круге пересекутся, меньше 1/2
Зафиксируем одну хорду, которая делит окружность на дуги а и b. Вероятности попадания концов другой хорды на них обозначим P(a)+P(b)=1
Вероятность пересечения [math]2P(a)P(b)\leq \frac 12, причем равенство только если хорда-диаметр, а это с вероятностью 0

Таланов писал(а):Source of the post Похоже на правду.

Исходная формулировка задачи безграмотная.
"среднее арифметическое всех хорд круга" - бессмысленно.
Надо говорить о матожидании длин хорд. А для этого надо задать распределение.

Я вот только два естественных варианта показал. Наверно можно ещё придумать.
Первый вариант мне больше нравится, т.к. решение выглядит красиво. Такие рассуждения про площадь в духе интегрального исчисления ещё в древности проводили, когда самого интегрального исчисления ещё не было.
Тут хорда рассматривается, как пересечение некой прямой и окружности. При этом берётся, что прямые на плоскости располагаются равномерно. Все углы наклона равновероятны (равномерно по углу). Среди параллельных прямых с одним наклоном они тоже имеют равномерную плотность распределения.

Второй вариант - это если рассмотреть хорду как отрезок между двумя точками на окружности и потребовать, чтобы эти точки были равномерно распределены вдоль окружности. Даже ещё проще конструкция. Просто взять интеграл вдоль окружности. Может тоже можно как-то на пальцах сделать, чтобы явно интеграл не считать.

Ian писал(а):Source of the post Вероятность того, что две произвольные хорды в круге пересекутся, меньше 1/2

Ian, тут же тоже надо задать вид распределения хорд.
Вы всё правильно посчитали по "второму варианту", когда хорда - отрезок между двумя точками, которые равномерно распределены по окружности.
Но есть и другие варианты. Например можно попробовать оценить это же по "первому варианту".

zykov писал(а):Source of the post Например можно попробовать оценить это же по "первому варианту".

Попробовал посчитать, вышло ровно .

Я претендовал на то, что доказательство не зависит от вида распределения.То есть P(a) может быть не пропорциональна длине дуги а, а получаться как-то сложно. Но она существует, и значит, такое неравенство. Ошибка там рядом. При разных способах попадания в а и b могли оказаться не независимы и [math]P(a,b)>P(a)P(b)

Не уверен, что понял о чём речь.
Если это "второй вариант", то очевидно что .
Если это "первый вариант", то очевидно что обычно .

Таланов решил по всем форумам еще одну волну пустить

Я погуглил: эта задача уже много лет обсуждается, вот несколько ссылок

http://2126.ru/forum/index.php?topic=69361.0
на матхелппланете жгут
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=10&t=75179
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=28&t=75288
вот еще забавное
https://proza.ru/2021/10/09/279

peregoudov писал(а):Source of the posthttps://proza.ru/2021/10/09/279

Тут вообще не верно.
"b=2*(0.5-ran())" - это меняется от -1 до 1 только если угол ноль. Иначе оно будет менятся в более широких пределах. Крайний случай - это касательная под этим углом. Т.е. должно быть "b=2*sqrt(1+a^2)*(0.5-ran())".

Если моделировать "первый случай", то выбираем равномерно угол от до - угол наклона перпендикуляра к хорде. Выбираем равномерно высоту хорды от до . Длина хорды будет . Не зависит от угла.
Если моделировать "второй случай", то совсем просто. Угол между концами хорды распределен равномерно от до . Длина хорды будет .

Я вот подумал тут. Хотя задача и не сформулирована чётко, но всё же "первый случай" логичнее второго. По условию "хорды распределены равномерно", что соответствует "первому случаю". А "второй случай" - это "концы хорд равномерно распределены по окружности". В условии концы вообще не упоминаются.

В первом случае как раз возможно геометрическое решение "без интегралов", нужно только увидеть, что ответ равен отношению площади круга (тот самый интеграл) к диаметру. Во втором случае геометрическая интерпретация сложнее, это длина циклоиды (катим круг, а хорда --- между фиксированной точкой круга и мгновенной осью вращения). Вот только не знаю, умели ли древние длину циклоиды вычислять без интегралов.