На боковой стороне AB трапеции ABCD выбрана точка P, а на стороне CD выбрана точка Q. Пусть R − точка пересечения отрезков BQ и CP. Оказалось, что точки P, R, Q, D, A лежат на одной окружности. Докажите, что AR=RD
---
Более понятно обратное в некотором смысле утверждение - если R верхняя точка дуги АD, то при любом выборе точки P на дуге AR и точки Q на дуге RD точки пересечения AP и QR, DQ и PR лежат на одной высоте над АВ.Хотя тоже трудное.
планиметрия
планиметрия
Вдогонку, применил инверсию плоскости с центром в точке R. Задача была про окружность и 6 прямых, две из которых параллельны, стала про 4 окружности (две из которых касаются) и три прямых, и что редко бывает, не стала выглядеть труднее. И где-то я преобразованную задачу уже встречал, но не решилась и она(
планиметрия
Вроде тут просто.
Пусть прямые и пересекаются в точке .
Раз четырёхугольник вписанный, то углы при и дополняют друг друга до (и аналогично при и ).
Т.е. и .
Значит треуголники и подобны (как и ). Значит .
Тогда треугольники и тоже подобны. Значит .
Четырёхугольник вписанный, значит углы при и дополняют друг друга до , значит .
Аналогично, четырёхугольник вписанный, значит углы при и дополняют друг друга до , значит .
Т.е. , значит .
Пусть прямые и пересекаются в точке .
Раз четырёхугольник вписанный, то углы при и дополняют друг друга до (и аналогично при и ).
Т.е. и .
Значит треуголники и подобны (как и ). Значит .
Тогда треугольники и тоже подобны. Значит .
Четырёхугольник вписанный, значит углы при и дополняют друг друга до , значит .
Аналогично, четырёхугольник вписанный, значит углы при и дополняют друг друга до , значит .
Т.е. , значит .
планиметрия
Спасибо!
Опечатка
и доллары глючат
[math]
zykov писал(а): и
Опечатка
и доллары глючат
[math]
планиметрия
Да, верно, там , а не .
Да, сейчас этот сайт формул fx.ifz.ru подтормаживает.
Да, сейчас этот сайт формул fx.ifz.ru подтормаживает.
Кто сейчас на форуме
Количество пользователей, которые сейчас просматривают этот форум: нет зарегистрированных пользователей и 17 гостей